第7课时 集合复习
【学习目标】
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题； 2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）； 3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用. 【课前导学】 【复习回顾】
1．判断下列命题的正误： ①全集只有一个；
②“正整数集”的补集是“负整数集”； ③空集没有子集；
④任一集合至少有两个子集； ⑤若A?B?B，则B?A；
⑥若A?B??，则A、B之中至少有一个为空集； 解：只有⑤ √，其余均X
2．设集合A?{x?3?x?2,}B?{x2k?1?x?2k?1},且A?B，则实数k的取值范围
是 ．?k|?1?k???1?? 2?223．设U?R，集合A?x|x?3x?2?0，B?x|x?(m?1)x?m?0．若(CUA)?B??，求m的
????值．
解：A???2,?1?，由(CUA)B??,得B?A，
当m?1时，B???1?，符合B?A；
当m?1时，B???1,?m?，而B?A，∴?m??2，即m?2 ∴m?1或2．
【课堂活动】 一、建构数学：
本单元主要介绍了以下三个问题： 1．集合的含义与特征； 2．集合的表示与转化； 3．集合的基本运算．
（一）集合的含义与表示(含分类)
1．具有共同特征的对象的全体,称一个集合；
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2．集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类；
?列举法（含全部列举、中间省略列举、端省略列举）?3．集合的表示??描述法（含文字描述与属性描述两类）?图示法（目前含数轴表示、直角坐标表示、Venn图表示）
??符号表示法（含数集符号简记与区间）（二）集合表示法间的转化
列举法
?具体化文字描述法??熟悉化??属性描述法?简单化???符号表示法?直观化图示法说明：高中数学解题的关键也是着“四化” ．
（三）集合的基本运算
1．子集：A ?B定义为，对任意x∈A，有x∈B,表现图为A在B中包含着； 2．集合运算比较： 运算类型 交 集 并 集 补 集 由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合，A是于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集，由S中所有不属于A的元素的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做A,B定 组成的集合，叫做S中义 交集．记作A?B（读的并集．记作：A?B子集A的补集（或余作‘A交B’），即（读作‘A并B’），即集）记作CSA，即 A?B=｛x|x?A，且A?B ={x|x?A，或x?B｝． x?B})． CSA={x|x?S,且x?A} 韦 恩 ABABS 图 A 示 图1 图2 (CuA) ? (CuB) A?A=A A?A=A = Cu (A?B) 性 A?Φ=Φ A?Φ=A A?B=B?A A?B=B?A (CuA) ? (CuB) A?B?A A?B?Ａ = Cu(A?B) A?B?B A?B?B A? (CuA)=U 质 A? (CuA)= Φ． 容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)． S
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二、应用数学：
1、注意集合中代表元素
“代表元素”实质是认识和区别集合的核心．代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同．例如A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},D={y=x2}.
例1 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1}.则相等的集合有 ． 答案：Q=N
【变式】Q ? S=？
2、注意集合中元素的互异性
注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当中，检验是否违反互异性的原则．例如对于数集{2a,a2-a}，实数a的取值范围是_______________.a?0且a?3 例2 (1)已知集合A={1,4,a},B={1,a2},且B?A,求集合A和集合B；
(2)已知x∈R,A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x-1,x2+1},如果A?B={-3}，求A?B． 解：（1）当a= 4时，有a=2或-2 ，经检验符合题意， 此时A={1,2,4}或A={1，-2,4}, B={1,4}；
当a=a 时，有a= 1或0 ，经检验a=0 符合题意,此时A={0,1,4},B={0,1}． （2）由A?B={-3}有，x-3= -3或2x-1= -3或x2+1= -3故有x=0 或-1 当x=0时，A={-3,0,1},B={-3，-1,1}，不合题意A?B={-3}； 当x= -1 时，A={-3,1,0} ,B ={-4，-3,2}，符合题意． 综上所述，x= -1. 【解后反思】
1、注意分类讨论；
2、注意检验题意和集合中元素的互异性．
223、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系 例3 (1)下列关系式:①
m?Q(m,n?N,n?0);②N∈R;③高一(1)班学生的笔∈{x|x是高一(1)班学生};④n3.14∈{x∈R|x-π>0}.其中正确命题的序号是 ．①
(2) ①1?{0,1,2};②{1}?{0,1,2}③{0,1,2}?{0,1,2};④?{0};⑤??{0},上述五个关系式中错误的个数是 ．2个 4、注意空集特殊性和两重性
空集是任意集合的子集，即??A，是任一非空集合的真子集，即?A(A≠?).A?B有三种情况：
A??,A?B,AB.另外还要分清楚?与{?},?与{0}的关系．
例4 下列五个命题:①空集没有子集;②空集是任何一个集合真子集;③??{0}④任何一个集合必有两个或两个以上的子集;⑤若A?B??，则A、B之中至少有一个为空集；其中真命题的个数 ．0个 例5 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},若?且A∩C=?，求a的值．
解：B={2,3} ,C={2，-4} 由题意有3?A, 2?A，
把3代入A对应方程有a-3a -10 =0 解方程有a=5 或 -2.， 经检验a=-2（a=5舍去）．
例6 已知A={x|ax-1=0},B={x|x2-5x+6=0},若A?B=A,求a的值，并确定集合A． 解：A?B=A, ?A?B 而 B={2,3}，
2A?B，
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当a = 0 时，A = ??B，符合题意；
11时，A={2}?B，符合题意；当a=时，A={3 }?B，符合题意． 23【解后反思】注意空集的特殊性，空集是任意集合的子集，即??B．
当a=
例7 已知A={x|x2+(m+2)x+1=0},且A?R+=?.试求实数m的取值范围． 解：因为A?R+=?.
若A??，则方程x2?(m?2)x?1?0无实数解， 所以??(m?2)2?4?m2?4m?0， - 4< m<0; 若A??，则方程x2?(m?2)x?1?0有非正实数根， 因为x1x2?1?0，所以方程有两个负根，
???m2?4m?0,所以?解得m?0，
??(m?2)?0,综上可知，实数m的取值范围是m > - 4.
【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用．
5、 综合运用
例8 已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}， B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.
分析：此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则 只有一种情况，即三个集合全是空集.
【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解， 即
??1?16a2?4(?4a?3)?0?22 ??2?(a?1)?4a?0 ?2??4a?8a?03?3 解此不等式组，得 ??a??1
23 ∴所求实数a的取值范围为：a≤?,或a≥-1.
2 点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求 出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
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三、理解数学：
1．已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|x2+2x-8>0}，C={x|x2-4ax+3a2<0}． (1)试求a的取值范围，使A∩B?C； (2)试求a的取值范围，使CUACUB?C．
分析：U=R，A=（-2，3），B=（-?，-4）∪（2，+?），
故A∩B=（2，3），CUA?（-?，-2]∪[3，+?），CUB?[-4，2]，
∴(CUA)(CUB)=[-4，-2]，
又x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0， ∴当a<0时，C=（3a，a）， 当a=0时，C=?，
当a>0时，C=（a，3a），
?a?0?? 要使A∩B?C，集合数轴知，?a?2 解得 1≤a≤2；
?3a?3?? 类似地，要使CUACUB?C必有
?a?04? ?3a??4 ， 解得 ?2?a??．
3?a??2?【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.
点评:①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便 于分析与转化；
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则. 2．(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若B?A,求实数a的取值范围； (2)已知集合A={x|ax2-3x+2=0}, ①若A=?，求a的取值范围；
②若A中只有一个元素，求a的值并写出这个集合的元素； ③若A中至多有一个元素，求a的取值范围； ④若A中有两个元素，求a的取值范围．
(3)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},若B?A，求实数a的取值范围． 解：(1) B?A 而 B={ 1,2 }
当a = 0 时，B = ??A符合题意；
当a=2时，A={1}?B符合题意；当a=1时，A={2 }?B符合题意； (2)(3)略
【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论． 【课后提升】
1．下列命题正确的有 个．
（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合y|y?x?1与集合?x,y?|y?x?1是同一个集合；（3）
22????
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