奎屯市第一高级中学 人教 A版 数学教案◆必修5◆第一章 解三角形 王新敞
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． [例题分析]
例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1)=8 ∴b?22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b?c?a(22)?(6?2)?(23)1⑵解法一：∵cosA???,
2bc22?22?(6?2)222222∴A?600.
解法二：∵sinA?sinB?ab2322?sin45,
0又∵6?2＞2.4?1.4?3.8, 23＜2?1.8?3.6, ∴a＜c，即00＜A＜900, ∴A?600.
评述：解法二应注意确定A的取值范围．
例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：
b?c?a87.8?161.7?134.6cosA? ?2bc2?87.8?161.722222222222?0.5543,A?56020?；
2c?a?b134.6?161.7?87.8cosB? ?
2ca2?134.6?161.70000C?180?(A?B)?180?(5620??3253?)
?0.8398,B?32053?；
Ⅲ.课堂练习第8页练习第1（1）、2（1）题．
[补充练习]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200） Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边． Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题． ●板书设计 ●授后记
第6页
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课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用．
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． ●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用． ●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]
思考：在?ABC中，已知a?22cm，b?25cm，A?1330，解三角形．
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题． Ⅱ.讲授新课 [探索研究]
例1．在?ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况 分析：先由sinB?bsinAasinC0可进一步求出B；则C?180?(A?B) 从而c? aA1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解．
2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a?bsinA，则有两解；（2）若a?bsinA，则只有一解；（3）若a?bsinA，则无解． （以上解答过程详见课本第9?10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解．
[随堂练习1]
（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况． （2）在?ABC中，若a?1，c?12，?C?400，则符合题意的b的值有_____个．
（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?22）
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例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型． 分析：由余弦定理可知
a?b?c?A是直角??ABC是直角三角形222a?b?c?A是钝角??ABC是钝角三角形（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形） 222a?b?c?A是锐角??ABC是锐角三角形222解：?72?52?32，即a2?b2?c2， ∴?ABC是钝角三角形． [随堂练习2]
（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型． （2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型． （答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形） 例3．在?ABC中，A?600，b?1，面积为分析：可利用三角形面积定理S?asinA?1232，求
12a?b?c的值
sinA?sinB?sinC12absinC?acsinB?bcsinA以及正弦定理
bsinB?csinC?a?b?c
sinA?sinB?sinC32解：由S?bcsinA?21得c?2，
a?b?ca??2
sinA?sinB?sinCsinA则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a?3，从而Ⅲ.课堂练习
（1）在?ABC中，若a?55，b?16，且此三角形的面积S?2203，求角C （2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?（答案：（1）600或1200；（2）450） Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用． Ⅴ.课后作业
（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况． （2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围． （3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状．
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?7x?6?0的根， 求这个三角形的面积． ●板书设计 ●授后记
第8页
a?b?c4222，求角C
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课题: §1.2.1解三角形应用举例(1)
●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●重点:实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●难点:根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．
Ⅱ.讲授新课
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 [例题讲解]
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，求A、B两点的距离(精确到0.1m) ?BAC=51?，?ACB=75?．启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答．
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边． 解：根据正弦定理，得
ABsin?ACB =
55sin75?ACsin?ABC
= 55sin75? ≈ 65.7(m)
sin54?AB =ACsin?ACB =55sin?ACB =
sin?ABCsin?ABCsin(180??51??75?)答:A、B两点间的距离为65.7米
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变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型．解略：2a km
例2.如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法． 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离．
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得?BCA=?，
? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，应用正弦定理得
AC = BC =
asin(???)sin[180??(?????)]asin?sin[180??(?????)] = =
asin(???)sin(?????)asin?sin(?????)
计算出AC和BC后，再在?ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =
AC2?BC2?2AC?BCcos?
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，
?BDA =60?(略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206)
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子． Ⅲ.课堂练习 课本第14页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业 课本第22页第1、2、3题 ●板书设计 ●授后记
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