奎屯市第一高级中学 人教 A版 数学教案◆必修5◆第一章 解三角形 王新敞
课题: §1.2.2解三角形应用举例(2) ●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点:结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点:能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．
分析：求AB长的关键是先求AE，在?ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由
在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是?、?，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在?ACD中，根据正弦定理可得AC = AB = AE + h = ACsin?+ h =
asin?sin?sin(???)asin?sin(???)
+ h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角?=54?40?，在塔底C处测得A处的俯角?=50?1?．已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精
确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在?ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边．
师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据?BAD=?求得．
解:在?ABC中, ?BCA=90?+?,?ABC =90?-?,?BAC=?- ?,?BAD =?.根据正弦定
BCsin(???)ABsin(90??)?理, = ,所以 AB =
BCsin(90??)sin(???)?=
BCcos?sin(???)
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解Rt?ABD中,得 BD =ABsin?BAD=将测量数据代入上式,得 BD =
??27.3cos501?sin5440???sin(5440??501?)BCcos?sin?sin(???)
=
??27.3cos501?sin5440?sin439?? ≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？生：若在?ACD中求CD，可先求出AC．
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？生：同理，在?ABC中，根据正弦定理求得．（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25?的方向上,仰角为8?,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在?BCD中
师：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生：BC边
解:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根据正弦定理,
BCsinAABsinCABsinAsinC = , BC ==
5sin15sin10?? ≈ 7.4524(km)
CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m) 答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习:课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结:利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化． Ⅴ.课后作业
1、 课本第23页练习第6、7、8题
2、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30?，
测得塔基B的俯角为45?，则塔AB的高度为多少m？ 答案：20+
2033(m)
●板书设计 ●授后记
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奎屯市第一高级中学 人教 A版 数学教案◆必修5◆第一章 解三角形 王新敞
课题: §1.2.3解三角形应用举例(3)
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．
●教学重点:能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题． Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]
例1.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路,教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角?ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角?CAB．
解：在?ABC中，?ABC=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理，
AC=AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC
?22 =67.5?54.0?2?67.5?54.0?cos137 ≈113.15
54.0sin137113.15?根据正弦定理, sin?CAB = BCsin?ABC =
AC≈0.3255,
所以 ?CAB =19.0?, 75?- ?CAB =56.0?
答:此船应该沿北偏东56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile
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例2.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为?，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2?，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4?，求?的大小和建筑物AE的高．
师：请大家根据题意画出方位图．生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评．
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中，
AC=BC=30， AD=DC=103， ?ADC =180?-4?， ?103=
3230sin(180? ． 因为 sin4?=2sin2?cos2?
?4?)sin2?cos2?=? ,得 2?=30?? ?=15?，
??在Rt?ADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角?为15?，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15
h103?x33
?在 Rt?ACE中,tan2?==???2?=30,?=15
答：所求角?为15?，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
?BAC=?， ?CAD=2?，
AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=
x30 --------- ①
4在Rt?ADE中，sin4?=
1032, --------- ②
3②?① 得 cos2?=,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15
答：所求角?为15?，建筑物高度为15m
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奎屯市第一高级中学 人教 A版 数学教案◆必修5◆第一章 解三角形 王新敞
例3.某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量． 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
?ACB=75?+45?=120?
222?(14x) = 9+ (10x) -2?9?10xcos120?
2?化简得32x-30x-27=0，即x=
32,或x=-
916(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin?BAC =
?BCsin120AB?=
1521??32=
5314
， ??BAC =3813?,或?BAC =14147?（钝角不合题意，舍去）
?3813?+45?=8313?
??答：巡逻艇应该沿北偏东83?13?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的
应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习 课本第18页练习
Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解． Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示） ●板书设计 ●授后记
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