（2）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）易得Sn=2n+3n，令n=1可得首项a1，当n≥2时可得an=Sn﹣Sn﹣1，代入可得通项，设等比数列{bn}的公比为q，可建立关于b1，q的方程组，解之可得； （2）由（1）可得cn=（4n+1）?（），由错位相减法可求和． 解答： 解：（1）∵点（n，Sn）在抛物线y=2x+3x上，
2
∴Sn=2n+3n，
当n=1时，a1=S1=5，
2
当n≥2时，Sn﹣1=2（n﹣1）+3（n﹣1）， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=4n+1，
∴数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列， ∴an=4n+1；
又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=设等比数列{bn}的公比为q， ∴b2=b1q=，b1q=解得b1=，q=， ∴bn=（）；
（2）由（1）可知cn=（4n+1）?（）， ∴Tn=5?+9?+13?+…+（4n+1）?（）① ∴Tn=5?+9?+13?
+…+（4n+1）?（）
+…+
n+1nn
n
4
2
n
2
，b5=
，
，
②
n+1
②﹣①知Tn=+4（++
）﹣（4n+1）?（）
=+4?﹣（4n+1））?（）
n+1
，
化简可得Tn=9﹣（4n+9）））?（）．
点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，涉及错位相减法求和，属中档
题．
n
18．对某校2015届高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加体育活动的次数．根据此数据做出了频数与频率的统计表和
频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求a的值，并根据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数（精确到个位数）；
（Ⅱ）在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人，记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25，由此能求出a的值，据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数． II）根据题意ξ可能取值为0，1，2．由此能求出ξ的分布列和Eξ． 解答： 解：（I）由分组[10，9）内的频数是10，频率是0.25，
∴∴p=
=0.25，∴M=40，即频数之和为40，∴10+24+m+2=40，∴m=4， =0.10，∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴a=
=17
≈17．
=0.12．
下面找面积平分线，解得中位数为15+（II）根据题意ξ可能取值为0，1，2． P（ξ=0）=ξ P
∴ξ的分布列为Eξ=0×
=
，P（ξ=1）= 0 +1×
+2×
=． =
，P（ξ）= 1
=，
2
点评：本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC，侧面A1B1BA和B1C1CB都是边长为2的正方形，D为AC的中点．
（1）求证：AB1∥平面DBC1； （2）求证：A1C1⊥平面BDC1； （3）求三棱锥C﹣BDC1的体积．
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理证明即可；（3）根据三棱锥的体积公式计算即可． 解答： （1）证明：如图示：
连接B1、C交BC1与点O，连接OD，在△CAB1中， O、D分别是B1C和AC的中点，OD∥AB1， 而AB1不在平面BDC1，OD?平面BDC， ∴AB1∥平面BDC1；
（2）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA和B1C1CB都是正方形， BB1⊥平面ABC，
∴AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC， 则AA1⊥BD，
∵AB=BC=2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，BD⊥平面AA1C1C，
∴BD⊥A1C，A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1， A1B1⊥平面B1C1CB，A1B1⊥BC1，
在正方形B1C1CB中，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1， BC1⊥平面A1B1C，
A1C?平面A1B1C，A1C⊥BC1， 又BD∩BC1=B， 故A1⊥平面BDC1，
（3）解：==h，
∵D是AC的中点，易知AB⊥平面BCC1B1， 故h=AB=1， ∴
=
=
h=××2×2×1=．
点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查空间几何体的体积公式，是一道中档题．
20．已知椭圆E：
2
2
（a＞b＞0）的焦距为2，且过椭圆右焦点F2与上顶点的直线
l1与圆O：x+y=相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在直线l2，满足l2∥l1，并且l2与椭圆E交于A、B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，若存在，请求出l2的方程，若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）通过焦距为2可知c=1、F2（1，0），进而直线l1的方程为：bx+y﹣b=0，利用直
线l1与圆O：x+y=相切可知b=1，进而可得结论；
（2）假设存在直线l2满足题设条件并设l2：y=﹣x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理可知m＜3，通过设A（x1，y1）、B（x2，y2），利用以AB为直径的圆与y轴相切可知|AB|=|（x1+x2）|，计算即得结论． 解答： 解：（1）∵焦距为2， ∴c=1，∴F2（1，0），
∴过椭圆右焦点F2与上顶点的直线l1的方程为：∵直线l1与圆O：x+y=相切， ∴
2
2
2
2
2
2
22
，即bx+y﹣b=0，
=，解得b=1，
∴a=b+c=1+1=2， ∴椭圆E的方程为：
+y=1；
满足题设条件．
2
（2）结论：存在直线l2：y=﹣x±理由如下：
假设存在直线l2满足题设条件，
由（1）知l1：y=﹣x+1， 设l2：y=﹣x+m， 联立
2
，消去y整理得：3x﹣4mx+2m﹣2=0，则△=（﹣4m）﹣12（2m﹣2）
2222
＞0，即m＜3，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1?x2=∴AB的中点横坐标为（x1+x2）=x2|=∴
??
，x1+x2=
，
|x1﹣
，则以AB为直径的圆的半径r=|AB|=，
=|（x1+x2）|，
=8x1x2，
2
整理得：
∴（
2
）=8?，
∴m=＜3， ∴m=±
，
满足题设条件．
故存在直线l2：y=﹣x±
点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x﹣b，求a，b的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+x有两个极值点，且h（x）=ax﹣e在（1，+∞）有最大值，求a的取值范围；
（3）讨论方程f（x）=0解的个数，并证明你的结论．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，解方程可得a，b；
22
（2）求出g（x）的导数，由题意可得x﹣ax+1=0有两个正根，则△=a﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的导数，对a讨论，若2＜a≤e，若a＞e，判断h（x）的单调性，即可得到a的范围；
2x