第7讲 导数的应用之单调性、极值、最值 【考纲解读】
17．导数及其应用
（3）导数在研究函数中的应用
① 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，会求在闭区间上函数的最大值、最小值． （4）生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题． 【要点梳理】 1.单调性
（1）函数f?x?是增函数?f??x??0
（2）函数f?x?是减函数?f??x??0 利用导数求函数单调区间的步骤（5个） S1求函数定义域 S2求函数的导数
S3先试着确定导数的符号，（含有参数时要分类讨论）
S4令导数等于零，解方程，这些根把定义域分成若干个小区间，确定在这些区间上导数的符号，从而判断函数的增减性（可以利用列表形式） S5写出单调区间 2.极值与最值
根据函数的单调性，列出极值表，确定函数的极值 函数f?x?有几个极值点
等价于函数的导数f??x?有几个变号零点
【典例精讲】
考点一 单调性问题
例1.（2013广东理21·14分）
设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
x2 (Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间；
?1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M ?2?【解析】(Ⅰ) 当k?1时,
f?x???x?1?ex?x2,f??x??ex??x?1?ex?2x?xex?2x?x?ex?2?
(Ⅱ) 当k?? 令f??x??0,得x1?0,x2?ln2 当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:
x ???,0? 0 ?0,ln2? ln2 ?ln2,??? 0 ? 极大? 值 f??x? ? 0 极小值 ? ? f?x? ? 右表可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为???,0?,?ln2,???.
xxxx (Ⅱ)f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2kx?xe?2k,
??令f??x??0,得x1?0,x2?ln?2k?,
1
令g?k??ln?2k??k,则g??k??11?k?1??1??0,所以g?k?在?,1?上递增, kk?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k? 所以当x?0,ln?2k?时,f??x??0；当x?ln?2k?,??时,f??x??0；
???????k3令h?k???k?1?e?k?1,则h??k??k?ekk3所以M?maxf?0?,f?k??max?1,?k?1?e?k
?k?3k?,
令??k??e?3k,则???k??e?3?e?3?0
k3??1??1??,1?上递减,而??????1???e???e?3??0
2??2??2???1??1?所以存在x0??,1?使得??x0??0,且当k??,x0?时,??k??0,
?2??2?所以??k?在?当k??x0,1?时,??k??0,
?1??2?17?1?因为h????e??0,h?1??0,
28?2??1?所以h?k??0在?,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得“?”.
?2?所以??k?在?,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减. 综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?e?k.
k3练习1. （2013江苏20·16分）
设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?ex?ax，其中a为实数．
（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围； （2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）f?(x)?11?a≤0在(1,??)上恒成立，则a≥，x?(1，??)．故：a≥1．
x xg?(x)?ex?a，
若1≤a≤e，则g?(x)?ex?a≥0在(1,??)上恒成立， 此时，g(x)?ex?ax在(1,??)上是单调增函数，无最小值，不合；若a＞e，则g(x)?ex?ax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，??)上是单调增函数，gmin(x)?g(lna)，满足．故a的取值范围为：a＞e．
x（2）g?(x)?ex?a≥0在(?1,??)上恒成立，则a≤e，
111?ax(x?0)． 故：a≤ ．f?(x)??a?exx11
(ⅰ)若0＜a≤ ，令f?(x)＞0得增区间为(0， )；
ea1
令f?(x)＜0得减区间为( ，﹢∞)．
a当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
111
当x＝ 时，f( )＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝ 时取等号．
aae
11
故：当a＝ 时，f(x)有1个零点；当0＜a＜ 时，f(x)有2个零点．
ee
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
2
1?a?0在(0，??)上恒成立， x即：f(x)?lnx?ax在(0，??)上是单调增函数，
(ⅲ)若a＜0，则f?(x)?当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点．
11
综上所述：当a＝ 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜ 时，f(x)有2个零点．
ee
考点二 极值问题
例2.（2013重庆理科17·13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设f(x)?a(x?5)2?6lnx，其中a?R，曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线与y轴相交于点（0,6）． （Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值．
f(3)?2?6ln3
练习2. （2013新课标理科20·12分）已知函数
f（x）=ex（ax+b）-x2
-4x，曲线y=f（x）在 点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4 （Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值
I）f1(x)?e2(ax?a?b)?2x?4.由已知得f(0)?4,f1(0)?4,故b?4,a?b?8, (II) 由(I)知,（fx)?4ex(x?1)?x2?4x,从而a?b?4;f1(x)?4ex(x?2)?2x?4?4(x?2)(ex?12).
令f1(x)?0得，x=-1n2或x=-2.
从而当x?(??,?2)?(?1n2,??)时，f1(x)?0;当x?(?2,?1n2)时，f（1x)<0.
故f(x)在（-?，），（-2-1n2，+?）单调递增，在（-2，-1n2）单调递减. 当x=-2时，函数（fx）取得极大值，极大值为（f-2）（=41-e?2). 考点三 最值问题
例3（2012江西文）已知函数f(x)?(ax2?bx?c)ex
3
（
在?0,1?上单调递减且满足f?0??1,f?1??0. (1)求a的取值范围;
(2)设g?x??f?x??f??x?,求g(x)在?0,1?上的最大值和最小值. 解析： (1)由f(0)?c?1,f(1)?0?c?1,a?b??1,则
f(x)?[ax2?(a?1)x?1]ex,f'(x)?(ax2?(a?1)x?a)ex,依题意须对于任意x?(0,1),有f?(x)?0,当a?0时,因为二次函数y?ax2?(a?1)x?a的图像开口向上,而f?(0)??a?0,所以须
f?(1)?(a?1)e?0,即0?a?1,当a?1时,对任意x?(0,1),有f?(x)?(x2?1)ex?0,符合条件;当a?0时,对任意x?(0,1),f?(x)??xex?0,f(x)符合要求,当a?0时,因f?(0)?a?0,f(x)不符合条件,故a的取值范围为0?a?1.
(2)因g(x)?(?2ax?1)ex,g?(x)?(?2ax?1?a)ex
当a?0时,g?(x)?ex?0,g(x)在x?0上取得最小值g(0)?1,在x?1上取得最大值g(1)?e; 当a?1时,对于任意x?(0,1),有g?(x)??2xex?0,g(x)在x?0上取得最大值g(0)?2,在x?1上取得最小值g(1)?0;
1?a?0, 当0?a?1时,由g?(x)?0?x?2a
练习3.1（15年新课标2文科）已知f?x??lnx?a?1?x?. （I）讨论f?x?的单调性；
（II）当f?x?有最大值,且最大值大于2a?2时,求a的取值范围. 【答案】（I）a?0,f?x?在?0,???是单调递增；a?0,f?x?在?0,（II）?0,1?. 【解析】
??1??1?单调递增,在??,???单调递减；a??a? 4
考点：导数的应用.
考点四 实际应用题
例4（2013重庆文20·12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000?元（?为圆周率）． （Ⅰ）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。
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