（2）①由（1）知，y?1000x2（5?x?20），则点?的坐标为???t,1000?t2??， 设在点?处的切线l交x，y轴分别于?，?点，y???2000x3，
考点：利用导数求函数最值，导数几何意义 【冲击名校】
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1.（2013湖北理）已知a为常数,函数
f(x)?x?lnx?ax?有两个极值点
x1,x2(x1?x2),则 （ ）
11f(x)?0,f(x)??12A．B． f(x)?0,f(x)??122211f(x)?0,f(x)??f(x)?0,f(x)??1212C．2D．2
【答案】D 2.[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
1
0，?上单调递增，求b的取值范围． (2)若f(x)在区间??3?解：(1)当b＝4时，f′(x)＝
－5x（x＋2）
，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
1－2x
10，?所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈??2?时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.
－x[5x＋（3b－2）]1－x
0，?时，(2)f′(x)＝，易知当x∈?<0， ?3?1－2x1－2x
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0，?时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤. 依题意当x∈??3?391
－∞，?. 所以b的取值范围为?9??
ex?2
3.[2014·山东卷] 设函数f(x)＝2－k?x＋ln x??(k为常数，e＝2.718 28?是自然对数的底数)． x
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)， x2ex－2xex?21?f′(x)＝－k?－x2＋x?
x4xex－2exk（x－2）＝－
x3x2（x－2）（ex－kx）＝.
x3由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增． 所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点； 当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)． 因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k， 当0 当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增， 故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点． 当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减； x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增． 所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)． 函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点． 12 g（0）>0，??g（ln k）<0， 当且仅当? g（2）>0，??0 解得e ee，?. 综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为??2? 2 13