福州市2012届第一学期期末高三数学
(文科)模拟试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．y??43x；14．1320；15．sin(???)?sin?cos??cos?sin?；16．②④
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列?an?的公比为q，则
a3?a1?q?2q，a4?a1?q?2q， ???????????? 2分
2233∵ a1,a3?1,a4成等差数列，
∴ a1?a4?2(a3?1)，即2?2q3?2(2q2?1)， ???????????? 4分
整理得q2(q?2)?0，
∵ q?0，∴ q?2， ??????????6分 ∴ an?2?2n?1?2n（n?N*）． ??????????8分 （Ⅱ）∵bn?log2an?log22n?n， ?????????10分 ∴ Sn?b1?b2???bn?1?2???n?18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）数组(x,y,z)的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1）， （1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．
答：一共有8种． 种，得1分．
（Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件Ai（i=3，4，5，6）， ???6分 易知，事件A3包含1个基本事件，事件A4包含3个基本事件，事件A5包含3个基本事件，事件A6包含1个基本事件，所以，
?????????5分
注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8
n(n?1)2． ?????????12分
6
P(A3)?18，P(A4)?38，P(A5)?38，P(A6)?18． ????????10分
故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大．
答：猜4或5获奖的可能性最大． ????????12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ S?ABC?63， ∴
12acsinB?12?3?32c?63，
∴ c?8， 由余弦定理得，
b?a?c?2accosB?3?8?2?3?8?22222????????????2分
12?49，
∴ b?7，
∴ ?ABC的周长为a?b?c?3?8?7?18． （Ⅱ）由正弦定理得，∴ sinA?absinB?37????????????5分 ????????????6分
asinA?32??bsinB3314， ，
????????????8分 ????????????9分 ????????????10分
?1314?39398∵ a?b，
∴ A?B，故角A为锐角， ∴ cosA?1?sin2A?1314，
3314∴ sin2A?2sinAcosA?2?20．（本小题满分12分）
． ????????????12分
解：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，销售量为15?0.1?100?5万套， 此时每套供货价格为30?105?32元，
?????????3分 ????????4分
书商所获得的总利润为5?(100?32)?340万元． （Ⅱ）每套丛书售价定为x元时，由?依题意，单套丛书利润P?x?(30?∴P??[(150?x)?100150?x?15?0.1x?0,?x?0得，0?x?150， ??5分
100150?x?30， ???7分
1015?0.1x)?x?]?120，
∵ 0?x?150， ∴ 150?x?0，
7
由 (150?x)?100150?x?2(150?x)?100150?x?2?10?20， ????10分
当且仅当150?x?100150?x，即x?140时等号成立，此时，Pmax??20?120?100．
答：每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；每套售价丛书定为140元时，单套利润取得最大值100元． （说明：学生未求出最大值不扣分）． 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOP?kOA?kPA得
yx?1?1?y?1x?1????12分
， ????2分
整理得轨迹C的方程为y?x2（x?0且x??1），
????4分
2（Ⅱ）设P(x1,x12),Q(x2,x2),M(x0,y0)，
????????由PQ??OA可知直线PQ//OA，则kPQ?kOA，
故
x2?x122x2?x1?1?0?1?0，即x2?x1??1， ????6分
?????????由O、M、P三点共线可知，OM?(x0,y0)与OP?(x1,x12)共线， ∴ x0x12?x1y0?0，
由（Ⅰ）知x1?0，故y0?x0x1，
同理，由AM?(x0?1,y0?1)与AQ?(x2?1,x22?1)共线，
2∴ (x0?1)(x2?1)?(x2?1)(y0?1)?0，即(x2?1)[(x0?1)(x2?1)?(y0?1)]?0，
????8分
?????????由（Ⅰ）知x2??1，故(x0?1)(x2?1)?(y0?1)?0， 整理得?2x0(x1?1)?x1?1， 由x1??1得x0??（方法二）
2), 设P(x1,x12),Q(x2,x2????10分
将y0?x0x1，x2??1?x1代入上式得(x0?1)(?2?x1)?(x0x1?1)?0，
12，即点M的横坐标为定值?12． ?????????12分
由PQ??OA可知直线PQ//OA，则kPQ?kOA， 故
x2?x122????????x2?x1?1?0?1?0，即x2??x1?1， ????6分
∴直线OP方程为：y?x1x ①； ????8分
8
直线QA的斜率为：
(?x1?1)?1?x1?1?12??x1?2，
∴直线QA方程为：y?1?(?x1?2)(x?1)，即y??(x1?2)x?x1?1 ②；??10分 联立①②，得x??12，∴点M的横坐标为定值?12． ?????????12分
22．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）(i)因为f(1)?1，所以m则
f(x)??x?1??1?x?3x?3x323?1， ????????1分
恒成立，
， 而
22f?(x)?3x?6x?3?3(x?1)?0所以函数f(x)的单调递增区间为(??,??)． （ii）不等式即 不等式3x2即 不等式mf(x)?x?1在区间[1,2]上有解，
3????????4分
?3x?m?02在区间[1,2]上有解，
?3x?3x在区间[1,2]上有解，
在区间[1,2]上的最小值． ????????6分
12)?2等价于m不小于3x2因为x?[1,2]时，3x2?3x?3x?3(x?34??0,6?，
所以m的取值范围是[0,??)． （Ⅱ）因为而
f(x)?x33????????9分
的对称中心为(0,0)，
f(x)?x3f(x)?(x?t)?m3可以由经平移得到，
所以
f(x)?(x?t)?m的对称中心为(t,m),故合情猜测，若直线l1与l2平行，则点A????????10分
与点B关于点(t,m)对称．
对猜想证明如下： 因为所以
f(x)??x?t??m?x?3tx?3tx?t?m32233，
222f?(x)?3x?6tx?3t?3(x?t)，
2 ，k2?3(x2?t)2所以l1，l2的斜率分别为k1因为x1?x2，
所以，x1?t??(x2?t)， 从而(x1?t)3所以
??(x2?t)3?3(x1?t)． ，
又直线l1与l2平行，所以k1?k2，即(x1?t)2?(x2?t)2????????12分
，
3333f(x1)?f(x2)?(x1?t)?m?(x2?t)?m??(x2?t)?m?(x2?t)?m?2m．
又由上 x1?x2?2t，
所以点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))（x1?x2）关于点(t,m)对称． 故当直线l1与l2平行时，点A与点B关于点(t,m)对称．
????????14分
9