提能拔高限时训练15 函数性质的综合应用 一、选择题
1,f(x+2)＝f(x)+f(2),则f(5)等于( ) 25A.0 B.1 C. D.5
21解析:由已知f(-1)＝-f(1)＝?,且f(1)＝f(-1+2)＝f(-1)+f(2),
235所以f(2)＝f(1)-f(-1)＝1,f(3)＝f(2)+f(1)＝,f(5)＝f(2)+f(3)＝.
221.设函数f(x)(x∈R)是奇函数,f(1)?故选C.
答案:C
2.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)＞1,f(2)?围是( )
2a?3,则a的取值范a?12222 B.a?且a≠1 C.a?或a＜-1 D.?1?a? 33332a?3解析:f(?1)?f(2)?,f(-1)＝-f(1)＜-1,
a?12a?33a?22??1??0??1?a?. ∴
a?1a?13A.a?答案:D
3.定义在R上的函数f(x)不是常数函数,且满足f(x-1)＝f(x+1),f(x+1)＝f(1-x),则f(x)( ) A.是奇函数也是周期函数 B.是偶函数也是周期函数 C.是奇函数但不是周期函数 D.是偶函数但不是周期函数 解析:f(x+1)＝f(x-1),∴f(x+2)＝f(x). ∴f(x)的最小正周期为2. 又f(1+x)＝f(1-x), ∴f(x)的对称轴为x＝1. ∵f(-x)＝f(-x-1+1)＝f［1-(-x-1)］＝f(x+2)＝f(x), ∴f(x)是偶函数.∴选B. 答案:B
4.定义在R上的周期函数f(x),其周期T＝2,直线x＝2是它的图象上的一条对称轴,且f(x)在［-3,-2］上是减函数,如果A、B是锐角三角形的两个内角,则( )
A.f(sinA)＞f(cosB) B.f(cosB)＞f(sinA) C.f(sinA)＞f(sinB) D.f(cosB)＞f(cosA) 解析:∵f(x)的周期T＝2,且f(x)在［-3,-2］上是减函数, ∴f(x)在［-1,0］上是减函数. ∵x＝2是f(x)图象的一条对称轴,T＝2, ∴f(x)的图象关于y轴对称. ∴f(x)在［0,1］上是增函数. ∵A、B是锐角三角形的内角, ∴A+B＞90°. ∴90°＞A＞90°-B＞0. ∴sinA＞sin(90°-B)＝cosB.
∴f(sinA)＞f(cosB). 答案:A
5.下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 解析:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,反例:y＝x-2,y＝x0等,∴①错误,③正确.奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,反例:y＝x-1,∴②错误.若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得f(x)＝0,但未必x∈R.(只要定义域关于原点对称就可以) 答案:A
n56.若x∈R、n∈N*,定义:Mx＝x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如:M?(-4)×(-3)×(-2)×(-1)＝5＝(-5)×
-120,则函数f(x)?xM19x?9的奇偶性为( ) A.是偶函数而不是奇函数 B.是奇函数而不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
2222
解析: f(x)?xM19x?9＝x(x-9)(x-8)…x…(x+8)［(x-9)+19-1］＝x(x-9)…(x-1).
答案:A
7.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)＝0,在区间(0,6)内f(x)＝0解的个数的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5 解析:f(2)＝f(5)＝0,f(0)＝f(3)＝0,f(2)＝f(-1)＝-f(1)＝0, ∴f(1)＝f(4)＝0.∴f(x)＝0在(0,6)内至少有5个根,x＝1,2,3,4,5. 答案:D
8.已知命题p:函数y＝loga(ax+2a)(a＞0,a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q:若函数y＝f(x-3)的图象关于原点对称,则函数f(x)关于点(3,0)对称.那么( )
A.“p且q”为真 B.“p或q”为假 C.p真q假 D.p假q真
解析:只需检验当x＝-1时,y＝logaa＝1,知命题p为真;因y＝f(x-3)向左平移3个单位得到y＝f(x),故函数y＝f(x)的图象关于点(-3,0)对称,所以命题q为假,故选C. 答案:C
9.已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)＝x2,如果直线y＝x+a与曲线y＝f(x)恰有两个交点,则实数a的值是( )
A.0 B.2k(k∈Z) C.2k或2k?11(k∈Z) D.2k或2k?(k∈Z) 441.又函数的周期为2,故所求a的值为2k或4解析:用数形结合法.由题意可作出函数的大致图象(如图),满足条件的直线有L1和L2两类,L1这种情况的a＝0,L2这种情况的a??2k?1(k∈Z). 4
答案:C
10.给出定义:若m?11＜x≤m?(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x},22即{x}＝m.函数f(x)＝|x-{x}|(x∈R).对于函数f(x),现给出如下判断:
①函数y＝f(x)是偶函数; ②函数y＝f(x)是周期函数;
11,］上单调递增; 221④函数y＝f(x)的图象关于直线x?k?(k∈Z)对称.
2③函数y＝f(x)在区间(?则判断正确的结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 解析:对①:当x∈(m?1111,m?),m∈Z时,-x∈(?m?,?m?),
2222∴{x}＝m,{-x}＝-m.
∴f(-x)＝|-x-{-x}|＝|-x+m|＝|x-m|＝|x-{x}|＝f(x); 当x?m?11,m∈Z时,f(x)＝f(-x)＝, 221111,m?］,x+1∈(m?1?,m?1?］,∴{x+1}＝m+1.
2222故函数y＝f(x)是偶函数. 对②:对任意x∈(m?∴f(x+1)＝|x+1-{x+1}|＝|x+1-m-1|＝|x-m|＝|x-{x}|＝f(x).
故函数y＝f(x)是以1为周期的周期函数. 对③:∵f(?)?|?131111?{?}|?|??0|?, 3333f(0)＝|0-0|＝0,∴③错误.
对④:∵函数y＝f(x)是偶函数,即f(-x)＝f(x), 又函数y＝f(x)是以1为周期的周期函数, 即f(x+1)＝f(x),
∴f(x+1)＝f(-x)?f(?x)?f(?x)?f(k?故函数y＝f(x)的图象关于直线x?k?121211?x)?f(k??x). 221(k∈Z)对称. 2答案:C 二、填空题
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝x2-2x+1,则f(x)的表达式为_________.
解析:∵f(x)是奇函数, ∴f(-0)＝-f(0).∴f(0)＝0.
当x＜0时,-x＞0,则f(-x)＝x2+2x+1. ∵f(-x)＝-f(x), ∴f(x)＝-x2-2x-1.
?x2?2x?1,x?0,?x?0, ∴f(x)??0,??x2?2x?1,x?0.??x2?2x?1,x?0,?x?0, 答案: f(x)??0,??x2?2x?1,x?0?12.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)?1,若f(1)＝-5,则［ff(5)］＝__________. f(x)解析:由f(x?2)?11?f(x),所以f(5)＝f(1)＝-5,则f［f(5)］＝得f(x?4)?f(x?2)f(x)f(-5)＝f(-1)＝
11??.
f(?1?2)5答案:?1 513.已知函数y＝f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)＝3x-1,设f(x)的反函数是y＝g(x),则g(-8)＝______.
解析:当x＜0时,-x＞0,f(-x)＝3-x-1. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)＝-f(x), 即-f(x)＝3-x-1. ∴f(x)＝1-3-x.
x??3?1,∴f(x)???x??1?3,x?0,x?0.
∴f?1?log3(x?1),x?0, (x)????log3(1?x),x?0.∴f-1(-8)＝g(-8)＝-log3(1+8)＝-log332＝-2. 答案:-2
14.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y＝f(x)的图象关于直线x?f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)＝__________. 解析:∵y＝f(x)图象关于直线x?∴有f(x)＝f(1-x).
1对称,则21对称, 2
又f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(1)＝f(0)＝0,
f(2)＝f(-1)＝-f(1)＝0. 同理f(3)＝f(4)＝f(5)＝0. 答案:0
三、解答题
15.已知y＝f(x)满足f(-x)＝-f(x),它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)＜0,试问F(x)?上是增函数还是减函数?证明你的结论. 解:F(x)在(-∞,0)上是减函数.
证明如下:设x1、x2是(-∞,0)上的两个任意实数,且x1＜x2,则-x1＞-x2＞0. ∵f(-x)＝-f(x),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)＜0, ∴F(x1)-F(x2)＝
1在(-∞,0)f(x)f(x2)?f(x1)f(?x1)?f(?x2)11????0. f(x1)f(x2)f(x1)?f(x2)f(?x1)?f(?x2)∴F(x)是(-∞,0)上的减函数.
16.函数f(x)的定义域为D:{x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)+f(x2). (1)求f(1);
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)如果f(4)＝1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 解:(1)令x1＝x2＝1得f(1)＝f(1)+f(1), ∴f(1)＝0.
(2)f(x)是偶函数.
证明如下:令x1＝x2＝-x,得f(x2)＝f(-x)+f(-x), 令x1＝x2＝x,得f(x2)＝f(x)+f(x), ∴f(-x)＝f(x). ∴f(x)是偶函数. (3)∵f(4)＝1, ∴f(16)＝f(4)+f(4)＝2,f(64)＝f(16)+f(4)＝3. ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, ∴f［(3x-1)(2x-6)］≤f(64). ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)是D上的偶函数,
?|(3x?1)(2x?6)|?64,?∴?3x?1?0, ?2x?6?0.?711?x??或?＜x＜3或3＜x≤5. 333711∴x的取值范围是{x|??x??或?＜x＜3或3＜x≤5}.
333解得?教学参考例题 志鸿优化系列丛书
【例1】 定义在实数集中的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)＝2f(x)·f(y),且f(0)≠0. (1)求证:f(0)＝1.
(2)求证:y＝f(x)是偶函数.
(3)若存在常数c,使f()?0,①求证:对任意x∈R,有f(x+c)＝-f(x)成立.②试问函数f(x)是不是周期函数.如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由. (1)证明:令x＝y＝0,则有2f(0)＝2f2(0), ∵f(0)≠0,∴f(0)＝1.
(2)证明:令x＝0,则有f(y)+f(-y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y), ∴f(-y)＝f(y). ∴f(x)是偶函数.
c2cc,(c＞0)替换x,y,有 22ccf(x+c)+f(x)＝2f(x?)?f().
22c∵f()＝0,
2(3)①证明:分别用x?∴f(x+c)+f(x)＝0,即f(x+c)＝-f(x). ②解:是.由①的结论,知f(x+2c)＝-f(x+c)＝-［-f(x)］＝f(x), ∴f(x)是周期函数,2c就是它的一个周期.
【例2】 设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)＝f(2+x),f(7-x)＝f(7+x),且在闭区间［0,7］上只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性;
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间［-2 008,2 008］上的根的个数,并证明你的结论. 解:(1)由f(2-x)＝f(2+x),得函数y＝f(x)的对称轴为x＝2, ∴f(-1)＝f(5).
而f(5)≠0?f(1)≠f(-1),即f(x)不是偶函数. 又∵f(x)在［0,7］上只有f(1)＝f(3)＝0, ∴f(0)≠0.
从而知函数y＝f(x)不是奇函数. 故函数y＝f(x)是非奇非偶函数. (2)??f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)???f(4-x)＝f(14-x)?f(x)＝f(x+10).
?f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x)从而知函数y＝f(x)的周期为T＝10. 又f(3)＝f(1)＝0, ∴f(11)＝f(13)＝f(-7)＝f(-9)＝0.
故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有2个根.从而可知函数y＝f(x)在［0,2 000］上有400个根,在［2 000,2 008］上有2个根,在［-2 000,0］上有400个根,在［-2 008,-2 000］上有1个根. ∴函数y＝f(x)在［-2 008,2 008］上有803个根.