光华园 http://ghy.swufe.edu.cn/
光华园学习网 http://ghy.swufe.edu.cn/study09/
线性代数阶段测试题（三）
一、填空题
?1??3?????22?，则α+β=__________,2α－3β=__________。 1. 向量????，????2???2?????41?????1??1??3??1?????????13?1?5????????2. 设向量组?1??2?，?2??6?，?3???2?，?4???10?, 当t=__________，向量组????????311513?????????????1???3???3???t??线性相关。它的一个极大无关组是__________。
3. 设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是r（A）=__________。
?1?k??1??1??0?????????1，?2?1?k，?3?14. 若??k能由?1?唯一的线性表示，则????????2?????k???1???1???1?k??k=__________。
5. 齐次线性方程组一定有_________解，非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩__________。
6. 已知A是m×n矩阵，齐次线性方程组?1，?2，?3，...，?sAX=0的基础解系为
。如R（A）=k，则S=__________；当k=__________
时方程只有零解。
?x1?2x2?2x3?0?7. 设线性方程组?2x1?x2?tx3?0的计数矩阵为A，3阶矩阵B?0且AB=0，则
?3x?x?x?0123?t=__________。 8. 设r1r1?，r2是非齐次线性方程组AX=β的两个解，η是齐次线性方程组AX=0的解，则
?是__________的解， r1?r2是__________的解， r1?r2是__________
的解。
9. 设AX=0是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2，则方程组AX=0有__________组解，其基础解系含__________个解向量。
二、单项选择题：（每小题只有一个正确答案） 1. 已知向量组?1A. ?1??2B. ?1??2C. ?1??2D. ?1??2
2. 设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为m×n阶矩阵，则（） A. R(PA)=R(A)，R(AQ)≠R(A) B. R(PA)≠R(A)，R(AQ)=R(A) C. R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A) D. R(PA)≠R(A)，R(AQ)≠R(A) ?1???0??3?1??0????a1??1???2????0????a2?，a3，?2，?3，?4线性无关，则向量组（）
，?4??1线性无关 ，?4??1线性无关 ，?4??1线性无关 ，?4??1线性无关
，?2??3，?2??3，?2??3，?2??3，?3??4，?3??4，?3??4，?3??4，?2，?3?1???2????3????a3?，?4??1???1?? ??2????a4?其中a1A. ?1B. ?1C. ?1D. ?1，a2，a4是任意数，则（）
，?2，?2，?2，?2，?3总线性相关 ，?3总线性无关 ，?3，?3，?4总线性相关 ，?4总线性无关
?3?1?4. 已知A??5???2?3?2?12?1?1535??2?则r（A）为 3???4?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设?1A. ?1
，?2，?2，?3是AX=0的基础解系，则该方程的基础解系还可表示为（） ，?3的一个等价向量组
B. ?1C. ?1，?2，?3的一个等秩向量组
，?1??2??3
，?3??1
，?1??2D. ?1??26. 设?1?1，?2，?2??3，?2，?3是AX=0的基础解系，也是BX=0的基础解系，A，B是n阶方阵，则
，?3也必是（）的基础解系。 A. （A+B）X=0 B. ABX=0 ?A?C. ??X?0 ?B?D. 以上均不对 ?x1??x27. 线性方程组??x3?x?4?x2?a1?x3?a2?x4?a3?x1?a4有解的充分必要条件是（） A. a1?a2?a3?a4?0 B. a1?a2?a3?a4?0 C. a4?a1?a2?a3?0 D．a1?a2?a3?a4?0 8. 已知?1础解系，k1，?2是AX=b的两个不同的解， ?1，?2是其对应的齐次方程AX=0的基，k2是任意常数则AX=b的通解是（） （?1??2）???）?A. k1?1?k（ 2122（?1??2）???）?B. k1?1?k（ 2122（?1??2）???）?C. k1?1?k（ 2122（?1??2）???）?D. k1?1?k（ 2122
9. 设原方程组为AX=b，且R（A）?R（A?b）?r则和原方程组同解的方程组是（） A. A'X=b
B. QAX=b，Q是初等阵 C. PAX=Pb，P是可逆阵
D. 原方程组中的前r个方程组成的方程组 三、多项选择题：（每小题至少两个正确答案） 1. 下面表述正确的是（）
A. n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0 B. 任一向量组都与自身等价 C. n 维基本单位向量组?1，?2，???n线性相关
D. 仅含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该向量为零向量 E. 若向量组?1,?2???m中?1，?2，???r线性无关，且
?r为该向量的最?1，?2，???r则?1，?r?1线性相关，，?2，??大线性无关组
?2)2. 设向量组?1?(?2，4)，?2?(1，(?1，?2，?3)的极大无关组是（） ，?3?(4，?8)则向量组
A. ?1 B. ?2 C. (?1D. ?3 E.无极大无关组 3. A是m×n矩阵，r（A）=r< min（m，n）则下面关于A的表述错误的是（）
A. 没有等于零的r-1阶子式，至少有一个r阶子式不为零 B. 有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零 C. 有等于零的r阶子式，没有等于零的r+1阶子式
D. 至少有一个r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零 E. 对A进行列变换后其秩R（A）< r 4. 下列表示正确的是（）
A. 线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等。 B. 齐次线性方程组一定有零解
C. 线性方程组中其系数矩阵和增广矩阵的秩都为r时，则该线性方程组的每个基础解系都含有n-r个解向量
D. 非齐次线性方程组的任意两个解的差是它的导出组的一个解
E. 非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和是这个非齐次线性方程组的一个解
，?2)
5. 设γ是非齐次线性方程组AX=β的解，η是齐次线性方程AX=0的解，k1 ，k2为任意常数，则以下哪些是AX=β的解（） A. k1??k2? B. ??? C. ??? D. k1??? E. ??k2? ?a11x1???a11x1???a1nxn?b1??a21x1???a21x1???a2nxn?b26. 有非齐次线性方程组?下列说法正确的是（） ???????????a11x1???a11x1???a1nxn?b1?A. 当R(A)?R(A)?n 时，有唯一解 B. 当R(A)?R(A)?n时，有无穷解 C. 当R(A)?R(A)?n时，有唯一解 D. 当R(A)?R(A)?n 时，有无穷解 E. 当 R(A)?R(A)时无解 四、计算题： ?0???1. 求向量组?1?4????2???1????1????0????2????4????3????1????1的极大线性无关组和????1??，?2，?3，?4秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。 ——答： 2.已知 ?1?(1，3，?2，1)，?2?(3，1，4，5)，?3?(2，1，?1，3)
且?1??2??4?2?3?3?4 求?4 。 ——答： ?1???3. 设?1?2????3???3?????1????2???2????3????c??，?2，?3，试问当c为何值时，向量组线性相关？c
为何值时向量组线性无关？