——答：
?x1?x2?2x3?x4?1??2x1?x2?x3?2x4?34. 求非齐次线性方程组?的通解，并表示出向量形式。
?x1?x3?x4?2?3x?x?3x?524?1——答：
?x1?x2?x3?2x4?0?5. 解方程组?2x1?3x2?x3?3x4?0 ?2x?5x?7x?x?0234?1——答： ?x1?2x2?2x3?0?6. 已知三阶矩阵B≠0且B的每一个列向量都是以下方程组的解 ：?2x1?x2??x3?0 ?3x?x?x?023?1①求λ的值；②证明B=0 ——答： ?x1?x2?2x3?3x4?1??x1?3x2?6x3?x4?3 7. 设线性方程组为?问k1与k2各取何值时，方程组无解，有?3x1?x2?k1x3?15x4?3?x1?5x2?10x3?12x4?k2?唯一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解。 ——答： 五、证明题 ?1??0??0???????010?? 1. 证明下列n个n维列向量必线性无关：e1???，e2???，??en????????????????00?????1?——答： 2. 试证：线性方程组有解的充分必要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等。即
R(A)?R(A) ——答：
线性代数阶段测试题（三）答案
一、填空题
?4????4?1、 ?? ,
0???5?????7????2?? ?10????5???2、t=3, (?1 ?2 ?3) 3、n 4、.k??3且k?0 5、零， 相等 6、s?n?k ，k=n 7、t=1 8、AX=?，AX=O，AX=2? 9、无穷多组，3 二、单项选择题 1、C 2、C 3、B 4、D 5、C 6、C 7、C 8、B 9、C 三、多项选择题 1、B D 2、A B D 3、A C E 4、B D E 5、B C E 6、B C E 四、计算题 ?0??4?=?4?2?110?243??1?1???1?通过初等变换为?0?01????01032?201??2??1? 0??? 1、??1?2?3所以这个向量组的极大线性无关组为?1，?2 ?3=
32?1—2?2，?4=12?1—?2 ?1????3?1??2?+2???1???2??3??0????????1??1??1? _ = ??1??4??2?
???????3??5?0???????2、?4=
12?1+
12?2—?3=
12?1?3、（?1 ?2 ?3） =?2?3?3－122??1??3?通过初等变换为?0?0c???3702??1? c?5??
所以当c-5=0即c=5时，向量组线性相关，c?5时，向量组线性无关。 ?1??24．?1??3?－1－10－121－101213????1??1??3??0 经线性变换化为．?02?????05??0100－1－3001000????2??1? ?0?0????1??1?????03?x1?x3?x4秩r=2, ?所以基础解系为 ?1＝??，?2＝??， ?0??1??x2?3x3????10?????1???x1?x3?x4?2??2? ?的一个特解为r=??, 所以通解为 x2?x3?11????2????－1??1??1???????3?0??2? k1?1＋k?2?r=k1?? +k2?+ 其中k1，k2为任意常数。 ?1?0??1????????????0??1??2??1?5．?2?2?1351－1－72??1??3?经线性变换化为?0?01???0104－303??－1? 0???－4??－3?????31?x1＝－4x3－3x4?，?＝??. 故方程组的通秩＝2，? 所以基础解系为?1＝?2?1??0??x2＝3x3?x4????01?????－4??－3??????3??1?k解为：k1?＋，其中k1，k2为任意常数。 2?1?0??????0??1??????1?6.① ?2?3?12－5?52－11?2??1????经线性变换化为?0?0?1????22－5?5?2????4?，因为B的列向量是方程组的5??解，所以00??4?0， ???4?5???1 秩r=2 5
②因为r=2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B的列向量都是方程组的解。所以B的列向量线性相关。所以｜B｜=0.
?1??17. 方程组的增广矩阵为：?3??1??1??0?0??0??1??0?0??0?12－4－61100222－k1024－6－k1－123－1233－2691??2?0??k2－1??113－1－5?1??0?0??0?26－k1－1011－4－631151222－6－k1－121??3?3??k2??3－169做
??1?0??k2－1??1
??1? 所以： 4??k2＋5???2－k1＝0?k1＝2当? 即? 时，方程组无解。 ?k2＋5?6?k2?1当2－k1?0 即k1?2 时，方程组有唯一解。 ?2－k1＝0?k1＝2当? 即? 时，方程组有无穷解。
k＝1k＋5＝6?2?2?1??0此时?0??0??1??0?0??0?010002000010110022003－1231??1??1??0 ?4?0???06???110022003－1101??1??1??0 ?02????00???110022000010－5??3? 2??0??－8??－8?????x1＝－83???1?x＋2x＝3 秩r=3, 一个特解为a=?23?1? 2??x＝2????4???0??2??0??0??－8????????x1＝－8??－2??－2??1?x＋2x＝3?＝k＋?k?＋a的基础解系为，所以，其通解为＝ 其?231?1?1???11?x＝2???????4?0??0??2???????中k1为任意常数。 五、证明题
1、 证明：利用反证法
假设e1，e2，…..，en线性相关，则存在k1，k2，…，kn不全为零，使得： k1e1+k2e2+…+knen=0 ?1????0? 即k1?.?+k2???.????0??0??0??k1????????1??0??k2??.?+…….+ k?.?=?.?=0
n???????.??.??.???????0???1??kn?故k1=k2=……=kn=0，这与假设矛盾，所以原命题成立， e1，e2，…..，en线性无关。 2、 证明： 证明充分性：R（A）=R（A）?线性方程组有解 设?i是A的诸列向量，?为A的最后一个列向量 ? R（A）=R（A） ??1，?2，……，?n，?必线性相关 不妨假设?1，?2，……，?n的极大无关组为?1，?2，……，?s，其中s?n，则 ……，?s也是?1，?2，……，?n，?的极大无关组，所以?可由?1，……，?1，?2，?2，?s线性表示，即?可由?1，?2，……，?n线性表示，方程组有解。 证明必要性：方程组有解? R（A）=R（A） 方程组有解，则?可由?1，?2，……，?n线性表示，设?1，?2，……，?n的极大无关组为?1，?2，……，?s，其中s?n，则R（A）=s ??可由?1，?2，……，?n线性表示 ??1，?2，……，?n，?必线性相关 那么，?1，?2，……，?s也是?1，?2，……，?n，?的极大无关组，即R（A）=s ? R（A）=R（A）