定积分的概念
【教学目标】
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分． 2．理解定积分的几何意义． 3．掌握定积分的基本性质． 【教法指导】
本节学习重点：掌握定积分的基本性质． 本节学习难点：理解定积分的几何意义． 【教学过程】 ☆复习引入☆ 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之. ☆探索新知☆ 探究点一 定积分的概念
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限． 思考2 怎样正确认识定积分?af(x)dx?
b
n(2)定积分就是和的极限lim∑(ξi)·Δx，而?读作“函数f(x)从a到baf(x)dx只是这种极限的一种记号，n→∞i＝1的定积分”．
(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算?0xdx的值． 解 令f(x)＝x.
3
13
b(1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[个小区间的长度为Δx＝－(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，?，n)，则
n130
i－1i，](i＝1,2，?，n)，每nnii－11
＝.
nnnin?xdx≈Sn＝∑f()·Δx i＝1
ini31
＝∑ ()· i＝1
nnn11211232＝4i∑i＝4·n(n＋1)＝(1＋). n＝1n44nn1
(3)取极限
112113?0xdx＝limSn＝lim (1＋)＝. n→∞n→∞4n4
反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算?1(1＋x)dx.
2
nni－1i－11n?2i－1?2＋，从而得∑f(ξi)Δx＝∑(2＋)·＝∑?＋n2? i＝1i＝1nnni＝1?n?
21
＝·n＋2[0＋1＋2＋?＋(n－1)]
nn1n?n－1?n－1＝2＋2·＝2＋. n22n(3)取极限：S＝lim ?2＋n→∞52
因此?1(1＋x)dx＝.
2
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么?af(x)dx表示什么？
b?
?
n－1?15
＝2＋＝. ?2n?22
答 当函数f(x)≥0时，定积分?af(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a 思考2 当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，?af(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？ bb 答 如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)． 由于 b－a>0，f(ξi)≤0，故 nb－abbf(ξi)≤0.从而定积分?af(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即?af(x)dx＝－S. n 当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分?函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)af(x)dx表示介于x轴、之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即?af(x)dx＝－S1＋S2－S3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)?9－xdx；(2)?－3－1(3x＋1)dx. 3 23 bb (2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示： ?－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积， 11115023∴?－＝16. －1(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝232333 反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)?－1xdx；(2)?0cos xdx；(3)?－1|x|dx. 解 (1)如图(1)，?－1xdx＝－A1＋A1＝0. (2)如图(2)，?0cos xdx＝A1－A2＋A3＝0. 2π 1 1 2π 1 3 11 (3)如图(3)，∵A1＝A2，∴?－1|x|dx＝2A1＝2×＝1. 2(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积) 探究点三 定积分的性质 思考1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广 ①?a[f1(x)±f2(x)±?±fn(x)]dx＝?af1(x)dx±?af2(x)dx±?±?afn(x)dx； ②?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋?＋?cnf(x)dx(其中n∈N)． af(x)dx＝?思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ bb* bbbb 例3 计算?9－x－x)dx的值． －3(解 如图， 3 2 3 由定积分的几何意义得? 3 3 3 －3 2 π×39π 9－xdx＝＝， 22 2 ?－3xdx＝0，由定积分性质得 9π3233233 ?9－x－x)dx＝?9－xdx－?. －3(－3－3xdx＝ 2 反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 12315227425613 跟踪训练3 已知?，?，求： 0xdx＝，?1xdx＝1xdx＝，?2xdx＝4433(1)?03xdx；(2)?16xdx；(3)?1(3x－2x)dx. 解 (1)?03xdx＝3?0xdx＝3(?0xdx＋?1xdx) 2 3 23 13 23 2 3 4 2 2 2 3 115 ＝3×(＋)＝12； 44 75642422242 (2)?)＝126； 16xdx＝6?1xdx＝6(?1xdx＋?2xdx)＝6×(＋33(3)?1(3x－2x)dx＝?13xdx－?12xdx 7151512223＝3?＝7－＝－. 1xdx－2?1xdx＝3×－2×3422☆课堂提高☆ 1．下列结论中成立的个数是( ) 2 2 3 2 2 2 3 i31 ①?xdx＝∑3·； i＝1nnn13 0 n②?xdx＝lim∑n→∞i＝1 n13 0 130 ?i－1? 3 n3 1·； ni31 ③?xdx＝lim∑3·. n→∞i＝1nnA．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 C 2．当n很大时，函数f(x)＝x在区间?,? (i＝1,2，?，n)上的值可以用 ( )近似代替 nn??A. 2 ?i?1i?i B．n?1?f?? C．?n?1?i?f?? D． n?n?【答案】C 【解析】f(x)＝x在区间?,?上的值可以用区间?,?上每一点对应的函数值近似代替，故选C. nnnn????3．下列等式不成立的是( ) A. B. C. D. 2 ?i?1i??i?1i??bab??mf?x??ng?x???dx＝m?af?x?dx＋n?ag?x?dx ??f?x??1??dx＝?af?x?dx＋b－a bbaabbb?ab?f?x?g?x?dx＝?f?x?dx?g?x?dx a?2π?2πsinxdx＝?0?2πsinxdx??sinxdx 02π【答案】C 【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．