高等数学
一、填空题
2（1）y?的间断点是 x??3 x?3（2）x?0是函数y?x1?x的第 一 类间断点。
（3）若极限limf(x)?a存在，则称直线y?a为曲线y?f?x?的 水平 渐
x??近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是 无穷小
（5）当x?0，函数sin3x与x是 同阶 无穷小。 （6）lim(1?2x)= e2 x?01x（7）若一个数列?xn?，当n 无限增大 (或??) 时，无限接近于某一个常数a，则称a为数列?xn?的极限。
（8）若存在实数M?0，使得对于任何的x?R，都有f?x??M，且milg?x??0，
x?0则limf?x?g?x??
x?0 0
（9）设y?sin3x，则y??? ?9sin3x ?1x (10) lim(1?)= e2 x??2x1
二、选择题
x（1）lim的值为（ A ）。
x?0sinxA.1 B.? C.不存在 D.0 （2）当x时，与x?100x3等价的无穷小量是( B )。 ?0 A. 3x B x C. x D. x3
（3）设函数f(x)?x?sin，则当x??0时，f(x)为 ( D )
A. 无界变量 B.无穷大量 C. 有界，但非无穷小量 D. 无穷小量
1x2sinx的值为（ D ）（4）lim。
x?0sinx1xA.1 B.? C.不存在 D.0 （5）下列函数在指定的变化过程中，（ D ）是无穷小量。 A．e,(x??) B.
1xsinx,(x??)x
x?1?1,(x?0)x
C. ln(1?x),(x?1) D.
（6）当x???时，下列变量中无穷大量是（ A )。 A. a B. 0 C. -a D. 不存在 （8）当x?0时，变量( C )是无穷小量。
?112A.lnsinx B.cos C.sin D.ex
xx1（9）x?0是f(x)?1的（ D ）。 xA. 连续点； B. 跳跃间断点； C.可去间断点； D. 无穷
间断点.
（10）x?0是f(x)?(1?x)的（C ）。 A. 连续点； 间断点.
（11）函数f(x)?xsin在点x?0处（ C ）
A.有定义且有极限 B.有定义但无极限 C.无定义但有极限 D.无定义且无极限 （12）limx?01x B. 跳跃间断点； C.可去间断点； D. 无穷
1xxx?（B ）
A. 0 B. 不存在 C. 1 D. ?1
（13）无穷小量是（C ）
A 趋于??的一个量 B 一个绝对值极小的数 C 以零为极限的量 D 以零为极限且大于零的量
x2?1（14）lim =( B )
x?1x?1A. -2 B. 2 C. 3 D. 1 (15) 设f(x)?1，则x??2是f(x)的（ C） 2x?4A．可去间断点 B.跳跃间断点 C．无穷间断点 D.以上答案都不对
x2?9(16) lim=（ B ）
x?3x?3A . -6 B. 6 C. 0 D. 2
x2?4(17) lim=（ B ）
x?2x?2A . -6 B. 4 C. 0 D . 2
sin2x(18) lim(B)
x?0xA. 1 B. 2 C. 0 D. ?1
三、计算题
x2?2x?1x?1x2?2x?1?limlimlim （1） 解： ?0 x?1x?1x?1x?1x2?1x2?1x?2x2?6x?8x2?6x?8?lim（２）lim2 （２） 解：lim2?? x?1x?1x?1x?5x?4x?1x?5x?4（３）lim(x??2?x?1x??x?1?) （３） 解： lim??1??? ?limx??x??x?1x?1x?1????xx?12x?2x?1 ?e2
3tan3x3xtan3x（4）lim 解：lim ?lim ?
x?0x?02xx?022x2x2?2?(5)lim(1?)x?2 解：lim?1??x??x??x?x? (6）limx??0x?2?2? ?lim?1??x??x??x?2?x?2???2x?e?2
sin4xx?2?2 解：limx?0si4xnsin4x? ?limx?0x?2?2?x?2?2
x??limx?04x??x?2?2?82
x? （7）lim(x?112?2)x?1x?1 解：
2??1li?m?2?x?1x?1x?1?? ?limx?1?2
x?1?x?1??x?1??limx?111cosx? ?lim2?0
x??xx?121cosx?0，当时，是无穷小量 cosx?1，cosx为有界函数?x??x??x2x2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
（8）lim（9）lim(1?x?122?2? ?? ) 解：lim?1?? ?1?limx?1x?1x?1x?1x?1?? (10）
limx?sin2xx?0x?sin5x 解：limx?0x?s2xi
x?s5xinnsin2x1?x?limx?osin5x1?x(11)
1x3x?1)?sin2x?lim?1??x?ox????sin5x?lim?1??x?ox???1?21??1?56
lim(1?x?02解
?16:
?x?lim?1??x?0?2?1?13x?x??lim?1??x?0?2?2?x??1????????1?x?2??3x?
?x??lim?1??x?0?2?2?1x???????x?62??e
x2?x1?1/xx2?x?limlim （12）lim4解： =0 x??x2?3?1/x2x??x?3x2?1x??x4?3x2?13?1?x?x2?313?1（13）lim( ?lim ??) 解：lim?3?23x?1x?1x?11?x?1?x??1?x?x?1?x?1?x1?x??lim?x?1x?2??1
x2?x?1
2x?1?x?4?（14）lim??x??x?1??x2sin?x?4?解：lim??x??x?1??
2x?15???lim?1??x??x?1???x?1?5?2x?1??5x?1 ?e?10
11x2sinx 解：limx?limx?limxsin1?limxsin1 当x?0（15）limx?0sinxx?0x?0x?0sinxxx?0xsinx111x?limxsin1?0 时，x为无穷小， sin?1，sin为有界函数 因此limx?0x?0xxsinxxx2sin（16）lim1arctanx?arctanx 解：lim 当x??时，?0 arctanx?，
x??x??xxx2arctanx为有界函数 因此lim2x6?5x4?2xarctanx?0
x??x2x6?5x4?2x2?5/x2?2/x5lim4（17）lim4解： ?lim x??3x?2x7?5x?4x??3/x2?2x?5/x5?4/x6x??3x?2x7?5x?4=0
12?2x?1?cos2x1?cos2x（18）lim解：lim ?lim22 ?2
x?0x?0x?0xsinxxsinx x1x?x2tanx?sinxtanx?1?cosx?tanx?sinxlim?lim（19）lim 解： ?lim23 333x?0x?0x??0x?0xxxx1x?2c? （20）lim()?8，求c 解：
x???x?c23c???x?2c??lim1? ?e3c?8 3c?ln8?3ln2 c?ln2 lim????x??x??x?c???x?c?sin2x（21）1、lim =2
x?0xxx?c3cx?3cx?c12x?1 (22) lim(1?)x）lim(1?)2?e2
x?0x??2x2x11(23) limx?sinxsin4x =2 (24) lim =0
x??x?sinxx?0tan2x
四、求下列函数的微分
（1）y?x?5?5 解：dy?(5x5155x4x?5ln5)dx 2x?sinx?cosx?11?cosx?1?cosx?dx （2）y? 解：dy???dx ?2(1?sinx)1?sinx?1?sinx?3x2dx (3) y?ln(x?2) （3）解：dy?3x?23 (4)
y?(x3?1)sinxy?3x23x2sinx33sinx3?cosxln(x?1)?sinx3dy?(x?1)[cosxln(x?1)?3]dxyx?1x?1d2yd2x
五、求下列函数的二阶导数 （
1
）
y?2x?x2 （1） 解：
dy?2xln2?2x dx