高等数学（下册）综合练习题（Ⅶ）
一、
试解下列各题： 1、 设z?x?2y?lnx?y22?3exy，求
?z?x和?z.
?y解：
?z?x?z?y?1?12?2xx?yy22?3y?exy?1?xx?y22?3yexy
??2?x?y22?3xexy
z(x,y)由x?y?z?3xyz?0所确定，
2222、 设
f(x,y,z)?xyz32，其中z?求fx?(1,1,1).
333fx?(x,y,z)?yz?xy?2z?z?x2x?2z?z?x?3yz?3xy?z?x?0得解：
?z?x?3yz?2x2z?3xy3yz?2x2z?3xy
333f?x(x,y,z)?yz?2xyz?fx?(1,1,1)?1?23?22?3??13、
22??z?1?x?y求曲线???x?1在点(1,1,3)处的切线与y轴正向所成的夹
角. 解：
?z?y?y1?x?y22
?tan??2?z?y|(1,1)?13 ????6
?y24、 计算二重积分??cos(1?x2D?y)d?，式中D是由圆周x2?1及
坐标轴所围成的第一象限内的区域.
?解：原式=?04d??0cos(1?r2)rdr
1??4?12(1?r)|0?21?8(sin2?sin1)
二、
证明：z??z?x?z?y?z?z?y?x?y?0. f(x,y)?g()满足方程x22?x?y?x?yyx2?z22?z2证：
?f??y?g??1y
2?z?x2222?f???y?g???1y2
xy24?f??x?xy2g?
?z?y22?xf???22xyxy3g??g??
?左边?xyf???22xy22g???y(xf???2xy324g??g??)?xyf??xyg??xyf??xyg??0?右边
三、
求由曲线的静力矩.
Mxx?y?a,x?0,y?0所围成的均匀平面薄片对x轴
?a??Dy?d????yx|00a(a?y)2dy???y(a?02ay)dy12解：
0???y(a?2a?1y?y)dy??ay?2?455ay2?aa33?y?|0?330?
222??2x?3y?z?47四、 求曲线?22??x?2y?z上点（-2，1，6）处的切线和法平面方
程.
解：方程组两边对求导得：
?4x?6y?????2x?4y???dydxdydx?2z?dzdxdzdx?0 在（-2，1，6）处有
dydz??8?6?12?0??dxdx ???4?4dy?dz?0?dxdx??切线方程为：
?dydx?2827,dzdx?427
x?21?y?12827?z?6427
法平面方程为：x?2?2827(y?1)?427(z?6)?0
即：27x?2y?4z?2?0
五、
计算??Dy?xdxdy22，其中D由x?1,x??1,y?0,y?1所围成.
???D1(y?x)dxdy?1x2??D2(y?x)dxdy?112??D32(x?y)dxdy0x22解：原式=
???dx?00(y?x)dy?2??1dx?2(y?x)dy?x1??1dx?0(x?y)dy12?x2?2xy?y?|0dx??1?2??02????102?122?xy?xy|?2?0dx????122?1y?xy?|x2dx???1?2??x)dx?4
?1120xdx?4?1?1(12?x?212?012?1xdx?41115?六、
计算
22I?????21x?y?z222dv，其中积分区域是由
x?y?(z?1)?1,z?1与y?0所确定.
解：利用球面坐标，则球方程为r?2cos?,z?1的球面坐标方程为
?r?2cos?1，由?r?1?r?cos??cos???I?得2cos2???1,cos??12,???4
???0d??4d??02cos?11rrsin?dr???2cos??40?1sin??cos?sin????d?2cos???
1??1?42???sin??lncos????1?ln2?24?2?0七、
计算?Cz222x?yds，C为螺线x?acost,y?asint,z?at,0?t?2?.
222?2?ata22?220(?asint)?(acost)?adtt2解：原式=?a?0?sint|32t?cost?1dt?82a?3xa2232
2a?132?0八、
计算?Cxdy?ydx，C为曲线
?yb22?1从点(a,0)到点(0,b)的一段.
解：椭圆参数方程为?原式=?02?acos?bcos?九、
??x?acos??y?bsin?,0????2
22?bsin?(?asin?)?d???2ab计算??(x2??y)ds2，其中?为球面x2?y?z?a2.
解：将球面分成上下两块
z?a?x?y,z??a?x?y222222222?1,?2方程分别为
，
2?1,?2dxdy在面上的投影为
Dxy:x?y?a，又ds2?aa?x?yadxdy222
d??a原式=2??(xDXY22?y)a?x?yy2222=2?02xar2320dr
22a?r22=4?a?0ar(r?a?a)a?ra?r?222?adr?4?a??0?ara?r222dr??a0?ra?rdr???=4?a??a2?23?12?313?16a222a4|0??(a?r)|0??4?a?a?a???a2333???十、
计算J???xdydz?ydzdx?zdxdy42，其中?是由锥面z2?x?y和平
面z?1,z?2所围成的有限台体的表面外侧. 解：由于P(x,y,z)?x,Q(x,y,z)?y42均为偶函数而曲面?关于yoz面和
2zox面对称，所以积分??x4dydx??0,??ydzdx?0?22而对??zdxdy需将?分成
??1,?2,?3方程分别为z?1,z?2,z?面
22x?y,?1,?3取下侧?1,?2,?3分别
分
别
为
在
2xoy
2上
2的
2投
2影
2D1:x?y?1,D2:x?y?2,D3:1?x?y?22
?J????zdxdy????dxdy?D1??D22dxdy?23??D3x?ydxdy????8??2?2?0d??rdr122?7??2??13r|2?7??(31163???)?143
?十一、设?un是取收敛级数，a为非零常数，试判别级数?(unn?1n?1???a)的
敛散性. 解：Sn记?n?(u1?a)?(u2?a)???(un?a)?u1?u2???un?na?
?u1?u2???un由于?unn?1收敛
?lim?n??n??存在，而limnan??n??n????limn???Sn?1?n?lim(??na)??
?级数?(un?a)发散.
n?1十二、将函数f(x)?解：?e?exxe12x2展开成x的幂级数，并指出收敛区间.
3?1?x?212!x?12!423!x???1n!x1n!x??n （???x???)
x?1?x?2x???2n??
x2n?2(???x???)
??f(x)?xe2x2?x?x?24x62!???1n!????n?11n!x2n?2
十三、求幂级数?n?1?n!an2x(a?0)的收敛区间.
n
解：anliman?1an?n!an2,an?1?(n?1)!an(n?1)2
n?1a2n?1n???lim(n?1)!aa(n?1)22n???limn!n???1alimn?1a2nn?????,a?1,a?0????0,a?1时
?当a?1时(a?0)，幂级数仅在x?0处收敛，当a?1时，此幂级数的
收敛区间为(??,??) 十四、已知
A??a?17ba?2,B?5,(a,b)??3a?b垂直.
23?，问系数?为何值时，向量
与B??解：由A?B??????知A?B?0，即(?a?17b)(3a?b)?0
2?3?a2????(51??)a?b?17b?0
23亦即：12??(51??)10cos能得??40,所以,???425?0
???40时，A?B
十五、求直线??3x?2y?24?0?3x?z?4?0与平面6x?15y?10z?31?0之间的夹角.
x?01?y?1232?z?43解：将直线方程化为对称式方程为：
设直线与平面间的夹角为?，从而由直线的方向向量和平面的法向量得
6?1?15?sin??6?1531332232?(?10)?32?(?10)1?()?3223?223133
???arcsin
?十六、计算曲线积分I?AOB(12xy?e)dx?(cosy?xe)dyyy，式中AOB为由
点A（-1，1）沿曲线y0）的路径.
?x2到点O（0，0）再沿直线y?0到点B（2，
解：连接线段OB和BA，则AO弧+OB+BA为闭线，方向为正向，其所围区域为D I=???D????x(xe1y?cosy)?1y?(12xy?e)?d???y???10(?cosy)dy???10(12x?e)dx??20dx
=???1dx?x0012xdy?21?0cosydy?1?20?1(12x?e)dx?2
x0?1=???112xy
|x2dx?siny|0?6x?e???2?sin1?e?1