有关乘法的基本运算
Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT
TAB?AB
AA?A Akklk?l
??l?Akl
k ?AB??AkBk不一定成立！
AE?A，EA?A
A?kE??kA，?kE?A?kA
AB?E?BA?E
与数的乘法的不同之处
?AB??AkBk不一定成立！
k无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A2?2A?3E??A?3E??A?E? 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0
由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律） 特别的 设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB?AC?B?C。
右消去律：BA?CA?B?C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C
可逆矩阵的性质 i）当A可逆时，
A也可逆，且ATT???1?A?1。 ?A?1。
?1??T A也可逆，且Akk???1??k 数c?0，cA也可逆，?cA??1?1A。 c?1ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??B?1A?1。
推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j? ??1???E??i?c???
?????1 ?E?i?c????1 ?E?i,j?c????E?i,j??c??
命题：准对角矩阵
A11A?000
伴随矩阵的基本性质：
0A220000?000?1可逆?每个Aii都可逆，记A?00Akk0?1A1100?1A22000000?0?10Akk
AA*?A*A?AE 当A可逆时， AA*A*， （求逆矩阵的伴随矩阵法） ?E 得A?1?AA?1 且得：?A*? 伴随矩阵的其他性质
①A*?An?1A??A?1? A????1?A*?A?1A?1???????1A??? A??, A*?AA
T?1 ②AT*??A*?, ③?cA?*?cn?1??A*, ④?AB?*?B*A*,
⑤Ak*??A*?，
k?? ⑥?A*?*?An?2?a?b?A。 n?2时， ?A*?*?A A*????cd??
?? 关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*
i) 任何两个的次序可交换， 如AT*??A*?，
T???1T ?A*???A?1?*等
?1 ii) ?AB??BTAT, ?AB? ?AB?*?B*A*
?B?1A?1，
但?AB??BkAk不一定成立！ k
线性表示
0??1,?2,?,?s
?i??1,?2,?,?s
???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解
???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs? Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。
?T?
?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，
则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C
线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp， 则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果
?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示
?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t
记作?1,?2,?,?s?
线性相关
s?1，单个向量?，x??0
?1,?2,?,?t。
?相关???0
?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn
s?2，?1,?2相关?对应分量成比例
①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0
如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关
Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s
证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0
则其中c?0，否则c1,?,cs不全为0，c1?1???cs?s?0，与条件?1,?,?s无关矛
盾。于是???cc1?1???s?s。 cc ④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关
（表示方式不唯一??1??s相关）
⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 证明：记A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，
则存在s?t矩阵C，使得 B?AC。
Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。
则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。
②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。
⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。
推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。
极大无关组
一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组 ①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s
②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?
?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 证明：???1,?,?s????I???I?,?相关。
?? ??,?,?s?,???1??s ? ??1,?,?s,????1/?1,?,?s?? ??1,?,?s??1,?? ③?可用?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s ④?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?
?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?