人教版解析几何综合测试（理科）
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．点P(－2,1)到直线2x＋y＝5的距离为 ( )
258528A. B. C. D. 5555解析：点P到直线的距离d＝
|－2×2＋1－5|85
＝. 答案：B
522＋1
110，－b?与Q?a，0?的直线PQ的倾斜角的取值范围是( ) 2．若ab<0，则过点P?????ππππ
0，? B.?，π? C.?－π，－? D.?－，0? A.?2??2??2???2?
1
baπa
，π?.答案：B 解析：kPQ＝＝，∵ab<0，∴<0，即k<0，∴直线PQ的倾斜角的取值范围是??2?b1b
ax22
3．若双曲线2－y＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )
a25323A. B. C. D．2
523c223解析：由题意知a2＋1＝4，∴a＝3，∴e＝a＝＝. 答案：C
33
4．直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线 ( ) A．有两条 B．有且仅有一条 C．不存在 D．不能确定
解析：∵22＋12>4，∴点P在圆外，故过点P与圆相切的直线有两条．答案：A π
5．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是 ( )
2A．－x＋2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0 C．－x＋2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
1
解析：由题意知，两直线垂直，且已知直线过点(0，－2)，所求直线斜率为－，∴所求直线方程为
21
y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0.答案：D
2
????????6．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为
( )
A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
????????解析：设点P(x，y)，R(x1，y1)，∵AP＝RA，
∴(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，
???1－x1＝x－1，?x1＝2－x，∴?即?又点R在直线l上，∴－y＝2(2－x)－4， ??－y＝y，y＝－y.??11
即2x－y＝0为所求．答案：B
x2y2
7．如右图，F1和F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以
ab O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边 三角形，则双曲线的离心率为
A.3 B.5 C.
( )
5
D．1＋3 2
1
解析：连结AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，∴|AF1|＝|F1F2|＝c，
2|AF2|＝
c32
|F1F2|＝3c，∴3c－c＝2a，∴e＝＝＝1＋3. 答案：D
a23－1
8．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：直线l1恒过定点(4,0)，点(4,0)关于点(2,1)对称的点为(0,2)，由题意知l2恒过点(0,2)． 答案：B
9．抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过等轴双曲线x2－y2＝1的左焦点，则p＝( ) A.
2
B.2 C．22 D．42 2
p
解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x＝－2，∴＝2，p＝22.
2答案：C
10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝3x 解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得点B到准线的距离为|BF|， 则
|BF|1
＝，∴l与准线夹角为30°，则直线l的倾斜角为60°.由|AF|＝3， |BC|2
3－p3
如图连结AH⊥HC，EF⊥AH，则AE＝3－p，则cos60°＝，故p＝. 32∴抛物线方程为y2＝3x. 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)
x2y2
11．直线x＋2y－2＝0经过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于
ab
________．
解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a>b>0，∴焦点在x轴上， ∴c＝2，b＝1，a＝22＋12＝5，∴e＝
2525
. 答案： 55
12．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线x·sinA＋ay＋c＝0与bx－y·sinB＋sinC＝0的位置关系是________． 解析：在△ABC中，由正弦定理得 答案：垂直
13．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：依题意过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截5152525
距为，切线与坐标轴围成的面积S＝··5＝.答案： 22244
x2y2
14．过双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.
ab若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析：∵∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°.在Rt△OAF中，|OA|＝a，|OF|＝c， c|OF|1∴e＝a＝＝＝2.答案：2
|OA|cos60°
三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15． (本小题满分10分)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线x＋y－7＝0及x＋y－5＝0上，求AB中点M到原点距离的最小值． 解：设AB中点为(x0，y0)，
ab＝，∴asinB－bsinA＝0，∴两直线垂直． sinAsinB
?∴?y＋y
y＝.?2
1
2
0
x1＋x2x0＝，
2
??x1＋y1－7＝0，又∵?∴(x1＋x2)＋(y1＋y2)＝12，∴2x0＋2y0＝12，
?x2＋y2－5＝0，?
∴x0＋y0＝6.∴原点到x0＋y0＝6距离为所求，即d＝
6＝32. 2
16． (本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切． (1)求圆O的方程；
????????PB的取(2)圆O与x轴相交点A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA·
值范围．
解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝得圆O的方程为x2＋y2＝4.
4＝2. 1＋3
(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜x2.由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得(x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2＝x2＋y2， 即x2－y2＝2.
????????PA·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)． PB＝(－2－x，－y)·
22
??????????x＋y＜4，2
由于点P在圆O内，故?22由此得y＜1.所以PA·PB的取值范围为[－2,0)．
?x－y＝2.?
x2y217．(本小题满分12分) 已知直线x?2y?2?0经过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶点A和上
ab顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，AS,BS与直线l:x?别交于M,N两点。
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值； （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这
样的点T，使得?TSB的面积为个数，若不存在，说明理由
解：（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A(?2,0),上顶点为D(0,1),?a?2,b?1
10分31？若存在，确定点T的 5x2?y2?1 故椭圆C的方程为4（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k?0，故可设直线AS的方程为y?k(x?2)，从而M(1016k,) 33?y?k(x?2)?2222由?x2得(1?4k)x?16kx?16k?4?0 2??y?1?44k16k2?42?8k22?8k24ky?x?设S(x1,y1),则(?2),x1?得，从而即S(,),又B(2,0) 11222221?4k1?4k1?4k1?4k1?4k1?y??(x?2)?x?1016k1 101?由?得?4k??N(,?)故|MN|??3??33k33k?x?10?y??1??3?3k?又k?0,?|MN|?16k116k18??2??33k33k3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当且仅当
16k11?，即k?时等号成立 33k4?k?18时，线段MN的长度取最小值 43（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，k?16442此时BS的方程为x?y?2?0,s(,),? |BS|?455512，只须T到直线BS的距离等于， 54 要使椭圆C上存在点T，使得?TSB的面积等于
所以T在平行于BS且与BS距离等于
2的直线l上。 4
设直线l':x?y?1?0则由35|t?2|2?,解得t??或t??22422w.w.w..s.5.u.c.o.m x2y218．(本小题满分12分) 如图，抛物线C1:y?8x与双曲线C2:2?2?1(a?0,b?0)有公共焦点abF2，点A是曲线C1,C2在第一象限的交点，且AF2?5.
y (Ⅰ)求双曲线C2的方程； M与双曲线的一条渐近线相切， （Ⅱ）以F1为圆心的圆
圆N：(x?2)2?y2?1.平面上有点P满足:存在过 点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2，它们分别与圆M,N 相交，且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的 弦长的比为3:1，试求所有满足条件的点P的坐标.
解：（Ⅰ）∵抛物线C1:y2?8x的焦点为F2(2,0)，∴双曲线C2的焦点为F1(?2,0)、F2(2,0)， 设A(x0,y0)在抛物线C1:y2?8x上，且AF2?5，由抛物线的定义得，x0?2?5，∴x0?3，
2∴y0?8?3，∴y0??26，∴|AF1|?A F1 O F2 x (3?2)2?(?26)2?7，
2y2?1． 又∵点A在双曲线上，由双曲线定义得，2a?|7?5|?2，∴a?1，∴双曲线的方程为：x?3222（Ⅱ）设圆M的方程为：(x?2)?y?r，双曲线的渐近线方程为：y??3x，
23?3，故圆M：(x?2)2?y2?3， 2设点P(x0,y0)，则l1的方程为y?y0?k(x?x0)，即kx?y?kx0?y0?0，
1l2的方程为y?y0??(x?x0)，即x?ky?x0?ky0?0，
k|2k?kx0?y0||x?ky0?2|∴点M到直线l1的距离为d1?，点N到直线l2的距离为d2?0，
221?k1?k∵圆M与渐近线y??3x相切，∴圆M的半径为d??2k?kx0?y0?∴直线l1被圆M截得的弦长s?23???， 21?k???? 直线l2被圆N截得的弦长t?21??x0?ky0?2?，
1?k2??22(2k?kx0?y0)23?221?k2由题意可得，s?，即， 3(x?ky?2)?(2k?kx?y)0000?3t(x0?ky0?2)21?1?k2∴3x0?3ky0?23?2k?kx0?y0 ① 或3x0?3ky0?23??2k?kx0?y0② 由①得：(x0?3y0?2)k?(3x0?y0?23)?0， ∵该方程有无穷多组解，
???x0?1?x0?3y0?2?0∴?，解得?，点P的坐标为(1,3)．
???y0?3?3x0?y0?23?0由②得：(x0?3y0?2)k?(3x0?y0?23)?0， ∵该方程有无穷多组解，
???x0?1?x0?3y0?2?0∴?，解得?，点P的坐标为(1,?3)．
???y0??3?3x0?y0?23?0∴满足条件的点P的坐标为(1,3)或(1,?3)．