第三章 不定积分
2．已知f(cosx)?sin2x，则
?f(x?1)dx? 。
3．
d?1?3tanxln(1?)dx???? 。 dx?x?4．已知
??f(x)dx?1?x2?C，则limh?0f(h)?f(?h)? 。
h2x5．已知xf(x)dx?xe，则f(x)? 。 6．下列积分谁正确（ ） 1a?1x?C?a为常数? B．?xsinx2dx??cos2x2?C ?a?1111dx?ln3?2x?C D．?lnxdx??C C．?3?2x2xA．xdx?a7．计算下列不定积分 （1）?31?3xdx xearctxan（22） ?dx 3(1?x22)（23）sin?lnx?dx （2）?1x(1?x)dx ?arctanx?1?x2dx 1?x2dx （4） ?1?x4（3）3（5）tanxdx 2x2（24）esinxdx ??arctanexdx （25）?exxdx （26）?cos2x（6）?11?e2xdx xex（27）?dx (1?x)2（28）（7）??1x(1?x)cosxdx 1?sinxcos4xdx （8）
2?cos2xdx
（29）
?1x1?4x??3
x2dx （9）?1?x （30）
sinx?sin3x?cos3xdx
- 93 -
（10）?x4?x2?1x?2dx （11）
?1cos4xdx
（12）
?tanxcosxdx （13）
?lnxx1?lnxdx
x（14）
?xeex?1dx
（15）?xx2a?xdx （16）
?x2a2?x2dx
（17）
?xln2xdx
（18）?sinxlntanxdx
（19）?arctanxdx
（20）?(arcsinx)2dx
（21）?xsinxdx
历年考试真题
1.（2001）不定积分
?11?x2dx?（ （31）
?x?2x21?x2dx
（32）?xln?4?x2?dx
（33）
?arctanxx2?1?x2?dx
（34）?e2x(tanx?1)2dx
（35）
?xlnx?1?x2?2dx
（36）
?sin2x1?cos4xdx
（37）
??|1?x|?|1?x|?dx
（38）?max?x2,x3?dx
（39）?ex1?sinx1?cosxdx
（40）
?x?1x?1?xex?dx
（41）??x?3x???x?1??1?x?3??dx?
- 94 -
）第三章 不定积分
A.
11?x2 B.
11?x2?C C. arcsinx D. arcsinx?C
e2xdx。 2. （2001）计算?1?ex3. （2002）设f(x)有连续的导函数，且a?0,1，则下列命题正确的是（ ）
1A. ?f?(ax)dx?f(ax)?C B. ?f?(ax)dx?f(ax)?C aC. (f?(ax)dx)??af(ax) D. ??f?(ax)dx?f(x)?C 4. （2002）求积分?xarcsinx21?x4dx 5. （2003）若F?(x)?f(x),f(x)连续，则下列说法正确的是（ ） A. C. ?F(x)dx?f(x)?c B. ?dF(x)dx?f(x)dx dx?dF(x)dx?f(x) f(x)dx?F(x)?c D. dx?6. （2003）xlnxdx ?7. （2004）求不定积分?arcsin3x1?x2dx?_____ ex8. （2004）设f(x)的一个原函数为，计算?xf?(2x)dx x9. （2005）若?f(x)dx?F(x)?C,则?sinxf(cosx)dx?() A. F(sinx)?C B. ?F(sinx)?C C. F(cosx)?C D. ?F(cosx)?C 310. （2005）计算tanxsecxdx ?
本章测试
1．f(x) 的一个原函数为
1，则f?(x)?_________。 x2．dcosx?________。
3x3．(xe)?dx?______,
??- 95 -
x2?c，则?sinxf(cosx)dx?_______。 4. 已知?f(x)dx?1?x25. (x?1)lnxdx 6.
?
?lnxx2dx
7.
?xdx4?x2
sin2x?cos2xdx 1?sin2xdx 9.?1?cos2x8.10.
?1?sinxdx
3211.(xlnx)(lnx?1)dx
??12.
x2?4dx x213.
cosx?2sinx?cosxdx
sinx， x14.已知f(x)的一个原函数为
32 证明：xf?(x)?xcosx?4xsinx?6cosx?C
?15.已知函数f(x)有二阶连续导数， 证明：xf??(2x?1)dx?16.ln(x?
?x1f?(2x?1)?f(2x?1)?C 24?x2?1)dx
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第三章 不定积分
单元练习题3答案
x3ex?1?23x?x?c 3.tanxln?1?? 4.2 5.e?1．cos2x 2.? 6.Ｃ 3xx??41317.解：（１）原式=??1?3xd(1?3x)=?(1?3x)3?C
34（２）原式=2?11??x?2dx?2arctanx?C 1arctan2x?C 2（３）原式=arctanxd?arctanx???d?x?x?1?1?x?21x?x?1dx??（４）原式=??arctan?C ?12x?x?22?x?x??22dx?（５）(tanx?tanx)?3?tanxdx??tanxdtanx??dcosx cosx?0.5tan2x?ln|cosx|?C （６）?edxx1?e?2x???de?x1?e?2x??ln(e?x?1?e?2x)?C （７）原式=?11d(x?)x?22?c?arcsin(2x?1)?C?arcsin1112?(x?)242dsinx2?1?2sin2x??dsinx3?2sin2x? （8）原式=??1d2sinx ?222(3)?(2sinx)16sinxarcsin?C 321x2)dx??x?ln|x?1|?C （9） 原式=?(x?1?x?121312332)dx?x4?x3?x2?6x?13ln|x?2|?C （10）原式=?(x?2x?3x?6?x?24321342（11）原式=?secxdx??(1?tanx)dtanx?tanx?tanx?C
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