656-511=145的约数，因此就是232、145的公约数,所以这个自然数是29。
【答案】29
【例 11】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值. 【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：?429?5??2?848，791、500?2?1000，这样这
些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.
将这三个数相减，得到848?791?57、1000?848?152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而?57,152??19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a?6时成立,所以这个自然数是19，a?6.
【答案】6
【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除
乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？ 【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603?A?K1r1 ，939?A?K2r2，393?A?K3r3由于r1?2r2，r2?2r3，要消去余数r1,
r1
r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除
数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603?A?K1?939?2??A?2K22r2 ?393?4??A?2K34r3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去
余数，意味着能被A整除．939?2?603?1275，393?4?603?969，?1275,969??51?3?17．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．
【答案】17
【例 13】 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a?1，a2，a3?1，求该自然数的值． 【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．
由于a2?a?a，所以自然数612?3721与154同余；由于a3?a?a2，所以61?154?9394与201同余，所以除数是3721?154?3567和9394?201?9193的公约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)?29，该除数为29．经检验成立．
【答案】29
【例 14】 有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(＞1)与余数(＞0)之和都相等，这样的数最小可能
是多少． 【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 6 of 8 ?A?15a?（X?a）?14a?X?A?15?a......X（a?X?a）?）?A?17b?（X?b）?16b?X ?A?17?b......X（b?X?b?A?19?c......X（?X?c）?A?19c?（X?c）?18c?Xc?14a?16b?18c?72|a?a至少为72，A?15a?Xa?15?72?Xa?1080?Xa 14a?16b?18c?63|b?b至少为63，A?17b?Xb?17?63?Xb?1071?Xb 14a?16b?18c?56|c?c至少为56，A?19c?Xc?19?56?Xc?1064?Xc
最小为1081．
【答案】1081
【例 15】 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三
个数是_______，_______，_______。 【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯
【解析】 设所得的商为a，除数为b．(19a?b)?(23a?b)?(31a?b)?2001，73a?3b?2001，由b?19，可
求得a?27，b?10．所以，这三个数分别是19a?b?523，23a?b?631，31a?b?847。
【答案】523，631，847
模块三、运用同余进行论证
【例 16】 在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数
称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？
【考点】运用同余进行论证 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个
数之和除以3总是余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
【例 17】 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的
商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？ 【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】仁华学校
7a?m?19b?n【解析】 设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则s?1
．
根据题意可知a?m?b?n，所以s??a?m??s??b?n?，即16a?18b，得8a?9b．所以a是9的倍
81数，b是8的倍数．此时，由a?m?b?n知n?m?a?b?a?a?a．由于s为三位数，最小为
995-5-3.同余问题.题库 教师版 page 7 of 8 a?1?1a7?m?9，9100，最大为999，所以100?17a?m?999，而1?m?16，所以17100?17a?m?17a?16，4时，得到5?a?58，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54．当a?511而n?18，所以m?12，故此时s最大为17?54?12?930；当a?9时，n?m?a?6，n?m?a?1，
99由于m?1，所以此时s最小为17?9?1?154．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．
【答案】最大的是930，最小的是154
【例 18】 从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？ 【考点】运用同余进行论证 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】西城实验
【解析】 被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相
邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中?x?不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取x???个数，使得取出的数
?2?中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．
?n??n?基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为??或???1，两个长度差为1的序列，要
?13??13?使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当n最小为8?8?9?5?109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108．
【答案】108
【例 19】 设2n?1是质数，证明：12，22，…，n2被2n?1除所得的余数各不相同． 【考点】运用同余进行论证 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】假设有两个数a、b，(1?b?a?n)，它们的平方a2，b2被2n?1除余数相同．那么，由
n?1))同余定理得a2?b2?0(mod(2n?1))，即(a?b)(a?b)?0(mod(2，由于2n?1是质数，所以
a?b?0(mod(2n?1))或a?b?0(mod(2n?1))，由于a?b，a?b均小于2n?1且大于0，可知，a?b与2n?1互质，a?b也与2n?1互质，即a?b，a?b都不能被2n?1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证．
5-5-3.同余问题.题库 教师版 page 8 of 8