则||·+||·=0;将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,
有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0;将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有 . 解析:由线段到平面,线段的长类比为面积, 由平面到空间,面积可以类比为体积, 由此可以类比得一命题为 O是四面体ABCD内一点, 则有答案:
·+·+
··+
+
·+·+
·
=0.
·=0
三、解答题
10.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 证明:∵△ABC为锐角三角形, ∴A+B>, ∴A>-B, ∵y=sin x在∴sin A>sin
上是增函数, =cos B,
同理可得sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.
11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式; (3)求
+
+
+?+
的值.
解:(1)f(5)=41.
(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ?
由上式规律,得出f(n+1)-f(n)=4n. 因为f(n+1)-f(n)=4n,
所以f(n)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1(n≥2), 又n=1满足上式,
所以f(n)=2n2-2n+1. (3)当n≥2时,∴=1+=1+
=
=,
+++?+
=-.