二次函数中有关三角形题解题思路类
松江区立达中学 庄士忠201600
二次函数中特殊三角形类的习题往往先计算二次函数的特殊点，然后结合三角形的特征进行分类讨论，解答时可以暂时把函数图像搁置一边，在坐标系中进行图示。
例1．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点． 解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2
）；
=2
，
（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2
）代入，得
x2+
，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x
（3）存在，
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如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42，解得y=±2当y=2
，
=
，
时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2
不符合题意，舍去，
） |2=42，
∴点P的坐标为（2，﹣2②若OB=PB，则42+|y+2解得y=﹣2
，
故点P的坐标为（2，﹣2），
|2，
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2解得y=﹣2
，
），
故点P的坐标为（2，﹣2
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），
解析：满足等腰三角形的点不一定在满足条件的点，所以应该有取舍。
例2．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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分析：
（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形性质，可得答案． 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO，（1分） 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO，（2分） ∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分） ∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）
（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1）， 则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分） 解得a=，
所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）
（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分） 过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分） ②若以点A为直角顶点；
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则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分） 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分） ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）
解析：由于确定直角边，所以直角三角形只有两种。
例3．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：
（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．
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解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO， 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；
（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，
∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1，
∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上； 故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．
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