第八章 立体几何初步第2课时
直线与平面的位置关系(1)
?对应学生用书（文）100～101页??? ? （理）102～103页?
考情分析 了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义． 考点新知
要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化．对于直线与平面所成角，点到面的距离了解即可.
1. (必修2P37练习3改编)在梯形ABCD中，AB∥CD，ABì平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是________．
答案：平行或异面
解析：因为AB∥CD，ABì平面α，CD?平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．
2. (必修2P41练习2改编)过直线l外一点P，作与l平行的平面，则这样的平面有________个．
答案：无数
解析：直线l与点P确定一个平面，记为α，在平面α内作直线PQ∥α，又在平面α外任取一点R，则点R与直线PQ确定一平面，记为β，由直线与平面平行的判定定理易知l∥β，因此满足题意的平面有无数个．
3. (必修2P37练习4改编)在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的表面中，与A1F1平行的平面是________．
答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D
解析：在正六棱柱中，易知A1F1∥AF，且A1F1平面ABCDEF，所以A1F1∥平面ABCDEF.同理，A1F1∥C1D1，且A1F1平面CC1D1D，所以A1F1∥平面CC1D1D.其他各面与A1F1不满足直线与平面平行的条件．故答案为平面ABCDEF与平面CC1D1D.
4. (必修2P32习题3改编)已知P是正方体ABCDA1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的直线是 ____________．
答案：DC、D1C1、A1B1
解析：DC、D1C1、A1B1均平行于直线AB，依据直线与平面平行判定定理，均可证明它们平行于平面ABP.
5. (必修2P41习题5改编)在四面体ABCD中，M、N分别是平面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案：平面ABC、平面ABD
解析：如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可
EMEN1
知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由＝＝，得MN∥AB，因此，MN
MANB2
∥平面ABC，且MN∥平面ABD.
1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 关系 公共 有无数个公共点 有且只有一个公共点 点 符号 aìα a∩α＝A 表示 图形 表示
直线a与平面α平行 没有公共点 a∥α 2. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
[备课札记]
题型1 基本概念辨析
例1 (1) 要得到直线l∥平面α，则下列条件不正确的有________．(填序号) ① l平行于α内的所有直线；
② l平行于过l的平面与α的交线； ③ l平行于α内的无数条直线；
④ l和α内的所有直线都没有公共点．
(2) 已知直线a、b和平面α，那么能得到a∥b的条件有________．(填序号) ① a∥α，b∥α；② a⊥α，b⊥α； ③ bìα且a∥α；④ a、b与α成等角．
(3) α、β表示平面，a、b表示直线，则能得到a∥α的条件有________．(填序号) ① α⊥β且a⊥β；② α∩β＝b，且a∥b； ③ a∥b且b∥α；④ α∥β且aìβ. 答案：(1) ③ (2) ② (3) ④ 备选变式（教师专享）
如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，① AB与CD相交；② MN∥PQ；③ AB∥PE；④ MN与CD异面；⑤ MN∥平面PQC.
其中真命题的是________(填序号)．
答案：①②④⑤
解析：将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，所以①、②、④、⑤为真命题．
题型2 直线与平面平行
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点． (1) 若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；
A1E
(2) 若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求的值．
EC1
(1) 证明：取B1C1中点G，连结EG、GD，则EG∥A1B1，DG∥BB1.又EG∩DG＝G，
∴ 平面DEG∥平面ABB1A1.又DEì平面DEG，∴ DE∥平面ABB1A1.
(2) 解：设B1D交BC1于点F，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因为A1B∥平面B1DE，
A1EBFBFBD1A1E1
A1Bì平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以＝.因为＝＝，所以＝.
EC1FC1FC1B1C12EC12
变式训练
如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1.
证明：设A1C1中点为F，连结NF、FC.
1
∵ N为A1B1中点，∴ NF∥B1C1，且NF＝B1C1.又由棱柱性质知B1C1∥=BC，又
2
M是BC的中点，∴ NF∥=MC，∴ 四边形NFCM为平行四边形．
∴ MN∥CF.又CF平面AA1C1，MN?平面AA1C1，∴ MN∥平面AA1C1. 备选变式（教师专享）
(2014·泰州中学期初调研)如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE.
(1) 求证：AE⊥BE；
(2) 求证：AE∥平面BFD.
证明： (1) ∵ 平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，AD⊥AB， ∴ AD⊥平面ABE，AD⊥AE.∵ AD∥BC，则BC⊥AE. 又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE.
∵ BC∩BF＝B，∴ AE⊥平面BCE，∴ AE⊥BE. (2) 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点，
∵ BF⊥平面ACE，则BF⊥CE.而BC＝BE，∴ F是EC中点. 在△ACE中，FG∥AE， ∵ AE?平面BFD，FGì平面BFD，∴ AE∥平面BFD. 题型3 线面平行与线线平行
例3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：
(1) BF∥HD1；
(2) EG∥平面BB1D1D.
证明：(1) 取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴ HD1∥MC1. 又MC1∥BF，∴ BF∥HD1.
1
(2) 取BD的中点O，连结EO、D1O，则OE∥=DC，
2
1
又D1G∥=DC，∴ OE∥=D1G，
2
∴ 四边形OEGD1是平行四边形， ∴ GE∥D1O. 又D1Oì平面BB1D1D， ∴ EG∥平面BB1D1D. 备选变式（教师专享） (2013·扬州调研)如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA.又QA⊥
1
平面ABCD，QA＝AB＝PD. 2
(1) 证明： PQ⊥平面DCQ；
(2) CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．
解： (1) 证法一：∵ QA⊥平面ABCD，∴ QA⊥CD, 由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA 、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴ CD⊥平面PDAQ，∴ CD⊥PQ，
2
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD, 又CD 、QD为平面ADCB内两
2
条相交直线，∴ PQ⊥平面DCQ.
证法二： ∵ QA⊥平面ABCD，QAì平面PDAQ，∴ 平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴ DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. 在
2
直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD, 又CD 、QD为平面ADCB内两条
2
相交直线，∴ PQ⊥平面DCQ.
(2) 存在CP中点R，使QR∥平面ABCD.证明如下：
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取CD中点T，连结QR、RT、AT，则RT∥DP，且RT＝DP，又AQ∥DP，且AQ＝
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DP，从而AQ∥RT，且AQ＝RT，∴ 四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR，∵ QR?平面ABCD，ATì平面ABCD，∴ QR∥平面ABCD.
1. (2013·南京模拟)直线l上有两点与平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是________．
答案：平行或相交
解析：设A、B是直线l上两点，若两点A、B在平面α的同侧，则l∥α，若两点A、B在平面α的异侧，且线段AB的中点在α上，则l与α相交．