点电荷完全等效，这就是所谓的电像法。
再求导体平板上感应电荷面密度分布。
在导体表面a点取一小面元ΔS，a点离O点距离为r，感应电荷面密度为??。a点紧靠
?????导体板上方的电场强度E的方向与板面垂直向下，大小为E?4K??。其E应是ΔS面上电
????荷产生的场强E1和q在a点处场强E2在垂直平板方向上分量的叠加。板上除ΔS面外的其他??电荷在a点附近的场强只沿平板切向，与E2在板的切向分量相抵消。
。 E1?2K???方向垂直板面（因求紧靠板的点的场强。此时ΔS可看为无限大平面）
E2n?E2cos???Kqq?cos???K?(r2?h2)(r2?h2)h(r2?h)122
E1?E2n?E
?Kq(r2?h)322?2K????4K???
????qh2?(r2?h)322
感应电荷面密度随r变化。r变小，距O点近，??变大。可以计算出板上所有感应电荷的和为?q。
类型三、用填补法等效替代处理电场的问题。
例3．如图9一3（a）所示，有两个部分重叠的球体，半径分别为R1和R2，两球球心距离O1O2?d，
d?R1?R2，两球重叠部分不带电，不重叠部分均匀带电，电荷体密度分别为??和
??。求两球重叠部分（即不带电部分）中的电场强度分布。
分析和解：本题的解题过程中首先用到填补法。因为两球重叠部分本是无电荷，但可认为其间充满电荷密度为??的电荷，这样两个球均成为均匀带电球体，而对于均匀带电球体，我们是能熟练求出球内外的场强的。
???????????????????如图9-3(b）所示，在两球重叠部分中任取一点P，画出矢量O1O2?d，O1P?r1，O2P?r2，
并假设重叠部分不带电的空间中，同时带有电荷体密度??和??（与不带电等效）。由此，P点所在位置可以被认为同时在均匀带电??和??的两个球体内．直接写出P点电场强度的矢
??????????1Q?r11Q?r2量表达式：E(P)?E?(P)?E?(P)????
4??0r12r14??0r22r2434?r1?，Q???r23? 33??????????d代入得E(P)?。 (r1?r2)?3?03?0其中Q??类型四、用等效法处理感应电场的问题。
例4．如图9一4所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空
腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1=q2=q，,两点电荷到球心的距离均为a。由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q。空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的。由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原
理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替[在本题中假想（等效）点电荷应为两个]，只要假想（等效）的点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，
?与q1共同产生的电场，在原空由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q1腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）
?与q2共同产生的电场，在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0。这样确点电荷q2定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是惟一的．等效电荷
?、q2?和q1、 q2来计算原来导体存在时空腔内部任意取代感应电荷后，可用等效电荷q1点的电势或场强。
?、q2?的位置 （1）试根据上述条件，确定假想等效电荷q1及电量。
（2）求空腔内部任意点A的电势UA。已知A点到球心O
的距离为r，OA与OP1的夹角为θ。
分析和解：点电荷置于接地导体球壳之内，在球壳内壁会感应出电荷，这时球壳内电势的关键是找到感应电荷的等效电荷即像电荷．
（1）如图9一5所示，S为
?的原空腔内表面所在位置，q1位置应位于OP1的延长线上的
?的位置应位于某点B1处，q2OP2的延长线上的某点B2处。设A1为S面上的任意一点，根据题意有
kq1q??k1?0 ① A1PA1B11q2q??k2?0 ② A1P2A1B2k怎样才能使①式成立呢？下面分析图9一5中△OP1A1与△OA1B1的关系。
2?的位置B1使下式成立，即OP若等效电荷q11?OB1?R ③
即
OPOA1?1 ④， OA1OB1A1POPa1?1? ⑤ A1B1OA1RRq1 ⑥ a则△OP1A1∽△OA1B1，有
???：q1由①式和⑤式便可求得等效电荷q1?的位置B1到原球壳中心位置O的距离为 由③式知，等效电荷q1R2OB1? ⑦
a同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，
??用类似的方法可求得等效电荷q2Rq2 ⑧ aR2?的位置B2到原球壳中心O位置的距离为OB2?等效电荷q2 ⑨
a?、q2、 q2?共同产生， (2)A点的位置如图9一6所示。A的电势由q1、q1即UA?kq（
因P1A?1R11R1 ⑩ ?????）PaB1AP2AaB2A1Ar2?2racos??a2
2R2R22B1A?r?2（r）cos??（） aaP2A?r2?2racos??a2 R2R22B2A?r?2（r）cos??（） aa2代入⑩式得
UA?kq（1r?2racos??a22?Rar?2raRcos??R2224?1r?2racos??a22?Rar?2raRcos??R2224 ）类型五、用“虚位移”法处理电场力做功的问题。 例5．已知真空中电场的能量密度为??1?0E2，试求：（1）均匀带电球面（电量为Q＞0，2半径为R）上电场强度ER。（2）带电球面上的表面张力系数。
分析和解：解这个题目两次运用“虚位移”法。第一问假设导体球壳在电场力作用下向外膨胀，电场力做功，而电场力做的功等于电场能的减小，从而列出等式解出壳面上的电场强度。第二问同样是假设导体球壳膨胀。电势能转化为球壳的表面自由能．从而解出表面张力系数．有一些物体本处于平衡状态，但受到保守力或保守力矩的作用，我们假设物体发生“虚位移”或“虚转动”，从而导致系统的势能发生改变，利用保守力的功与势能改变的关系，解出保守力或保守力对应的力矩．
（1）球面内E=0，而球面外球面附近E?Q4??0R2?? ?0根据对称性ER应沿径向向外，设带电球面缓慢地向外膨胀，半径由R变为(R＋ΔR)，则电场力对单位球面积的功为ERσΔR，
对整个球面的功：?A?ER????R?4?R2?4?ER?R2?R
球面膨胀后，R内和（R＋ΔR)外电场及能量未变，而R? (R＋ΔR)的薄球壳内的电场能发生变化：
12?R2?222?W?0??0E4?R?R???R
2?0而电场力的功等于电势能改变加一负号4?ER?R?R?22?R2?2?0?R，
ER??Q ?22?08??0R（2）电场力做功导致电势能减小，电势能转化为球面因膨胀而增加的表面自由能，球面膨胀后增加的表面积在考虑（ΔR)2可忽略后得?S?4?(R??R)?4?R?8?R?R
222?R2?2?0?R?8?R?R?
R?2Q2 ???234?064??0R类型六、用归纳法处理电容器循环充电的问题。
例9．在图9一7所示电路中，三个电容器C1、C2、C3的电容值均等于C，电源的电动势为ε，
R1、R2为电阻，K为双掷开关。开始时，三个电容器都不带电，先接通oa，再接通ob，再接通oa，再接通ob，?，如此反复换向。设每次接通前都已达到静电平衡，试求：