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考点5 平面向量的线性运算及基本定理
2010年考题
??1.（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b?（p,q)，??令a⊙b?mq?np，下面说法错误的是（ ）
????????A.若a与b共线，则a⊙b?0 B. a⊙b? b⊙a
???2??2?2?2???C.对任意的??R，有(?a)⊙b? ?(a⊙b) D. (a⊙b)?(a?b)?ab
??????【解析】选B，若a与b共线，则有a⊙b?mq?np?0，故A正确；因为b⊙a ?pn?qm,，而 ??????a⊙b?mq?np，所以有a⊙b? b⊙a ，故选项B错误，故选B.
??????2.（2010·陕西高考理科·Ｔ１1）已知向量a?(2,?1),b?(?1,m),c?(?1,2) ,若(a?b)∥c，
则m＝_____________.
???????1m?1?,?m??1. 【解析】?a?(2,?1),b?(?1,m),?a?b?(1,m?1),由(a?b)∥c得: ?12答案：?1
2009年考题
1.（2009广东高考）已知平面向量a= ，b=， 则向量a?b （ ） （x,1）（－x,x）A平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
22【解析】选C.a?b?(0,1?x),由1?x?0及向量的性质可知,C正确.
2????????????2.（2009山东高考）设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ） ??????????????????A.PA?PB?0 B.PC?PA?0 ??????????????????????C.PB?PC?0 D.PA?PB?PC?0
????????????【解析】选B.因为BC?BA?2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.
B
A C P
第2题图
1
3.（2009北京高考）已知向量a、b不共线，c?ka?b(k?R),d?a?b,如果c//d，那么（ ） A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向
【解析】选D.本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a??1,0?，b??0,1?，若k?1，则c?a?b??1,1?，d?a?b??1,?1?， 显然，c与a不平行，排除A、B.
若k??1，则c??a?b???1,1?，d?a-b????1,1?， 即c//d且c与d反向，排除C，故选D.
4.（2009湖北高考）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=（ ） A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
???【解析】选B.由计算可得c?(4,2)?3a?b故选B.
5.（2009湖南高考）如图1， D，E，F分别是?ABC的 边AB，BC，CA的中点，则（ ）
D A F ??????????????????????????A．AD?BE?CF?0 B．BD?CF?DF?0 ??????????????????????????C．AD?CE?CF?0 D．BD?BE?FC?0
B
E
C
?????????????????????????????????????????????【解析】选A. 法一：?AD?DB,?AD?BE?DB?BE?DE?FC,得AD?BE?CF?0，故选A. ????????????????????????????????? 法二：AD?BE?CF?AD?DF?CF?AF?CF?0.
?????????????????????6.（2009陕西高考）在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学AP?2PM,则PA?(PB?PC)等于（ ）
4444 （B）? （C） (D) 9339?????????【解析】选A.PA??2PM?P是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP,
（A）??????????????????????2??????22????4????4PA?(PB?PC)?PA?PH?(?AM)?AM???AM??
33997.（2009重庆高考）已知向量a?(1,1),b?(2,x),若a+b与4b?2a平行，则实数x的值是（ ） A．-2
B．0
C．1
D．2
【解析】选D.方法1因为a?(1,1),b?(2,x)，所以a?b?(3,x?1),4b?2a?(6,4x?2),由于a?b与
4b?2a平行，得6(x?1)?3(4x?2)?0，解得x?2。
2
方法2因为a?b与4b?2a平行，则存在常数?，使a?b??(4b?2a)，即(2??1)a?(4??1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x?2。
8.（2009广东高考）若平面向量a，b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则a? . 【解析】a?b?(1,0)或(?1,0)，则a?(1,0)?(2,?1)?(?1,1)或a?(?1,0)?(2,?1)?(?3,1). 答案：(-3,1)或(-1,1).
?1????3????1???????????A????BC?BD??B????9.（2009天津高考）在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），???，
BABCBD则四边形ABCD的面积是 .
【解析】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的3倍，所以
cosABD?答案：3 2?2?62?2?2??331，故sinABD?，SABCD?(2)2??3。
22210.（2009安徽高考）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若其中
，
R ，则
+
= _________。
=+，
?????????????????1???????1????【解析】设BC?b、BA?a则AF?b?a ,AE?b?a ,AC?b?a代入条件得
2224??u????u?
33答案：4/3
11.（2009辽宁高考）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)， B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.
????????????????【解析】平行四边形ABCD中,OB?OD?OA?OC ????????????????OD?OA?OC?OB∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)
即D点坐标为(0,－2) 答案：（0，－2）
12.（2009湖南高考）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
????????????若AD?xAB?yAC，则 x? ，y? .
【解析】作DF?AB,设AB?AC?1?BC?DE?
2，3
??DEB?60?,?BD?6, 262333??,故x?1?,y?.22222
由?DBF?45?解得DF?BF?答案：1+x?1?y?,323. 213.（2009四川高考）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象 为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a,b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
②对a?V设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ③若e是平面M上的单位向量，对a?V设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ④设f是平面M上的线性变换，a,b?V，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【解析】令a?b?0,????1，由题有f(0)?2f(0)?f(0)?0，故①正确； 由题f(?a??b)?2(?a??b)，?f(a)??f(b)?2?a?2?b?2(?a??b)，即
f(?a??b)??f(a)??f(b)，故②正确；
由题f(?a??b)??a??b?e，?f(a)??f(b)??a?e??b?e，即
f(?a??b)??f(a)??f(b)，故③不正确；
由题b??a，f(0)?f(a??b)?f(a)??f(b)?0?f(a)??f(b)，即f(a),f(b)也共线，
故④正确； 答案：①②④
14.（2009四川高考）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为
f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，
则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：
4
①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)
②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【解析】①令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③∵f(a)??a，则有f(b)??b
f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是真命题
②由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e
f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e
∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题 答案：①③④
2008年考题
1.（2008广东高考）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长
????????????CDF线与交于点．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）
(A)
11a?b 42(B)
21a?b 33 (C)
11a?b 24(D)a?132b 3【解析】选B.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC?1:2,然后利用向量的加减法则易得答案B.
??????2.（2008广东高考）已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m)，且a//b，则2a?3b＝（ ）
(A)(?5,?10) (B)(?4,?8) (C)(?3,?6) (D)(?2,?4) 【解析】选B.排除法:横坐标为2?(?6)??4.
??3.（2008海南、宁夏高考）平面向量a，b共线的充要条件是（ ） ??A. a，b方向相同 ??C. ???R，b??a
??B. a，b两向量中至少有一个为零向量
???D. 存在不全为零的实数?1，?2，?1a??2b?0
5
?????【解析】选D.若a,b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数?1,?2,使得?1a??2b?0；???????若a?0，则由两向量共线知，存在??0，使得b??a，即?a?b?0，符合题意，故选Ｄ.
????????????????????4.（2008全国Ⅰ）在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?（ ）
(B)5c?2b (C)2b?1c (D)1b?2c333333
????????????????????????????????【解析】选A. 由AD?AB?2(AC?AD)，3AD?AB?2AC?c?2b，AD?1c?2b.
33(A)2b?1c
33
????????ABCDC(3，1)2)，B(?1，?2)，5.（2008辽宁高考）已知四边形的三个顶点A(0，，且BC?2AD，
则顶点D的坐标为（ ） 7) (A)(2，2
?1) (B)(2，22) (C)(3， 3) (D)(1，??????????????????x?22x?4【解析】选A.?BC?(4,3),AD?(x,y?2),且BC?2AD，?2y?4?3??y?7. ???2?????????6.（2008辽宁高考）已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC?CB?0,
????则OC等于( )
???????????????????????????????? A.2OA?OB B.?OA?2OB C.2OA?1OB D.?1OA?2OB
3333????????????????????????????????????????????【解析】选A.方法一：依题OC?OB?BC?OB?2AC?OB?2(OC?OA).∴OC?2OA?OB.
????????????????????????????方法二：由已知2AC?CB?0，可得：点A是线段CB的中点，设OB+OC?OD，AC+AC+CB=AC+AB=0，
????????????作平行四边形OBDC，由平行四边形法则可得OC?2OA?OB。
7.（2008安徽高考）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?（ ） (A) （－2，－4）
(B)（－3，－5） (C)（3，5）
(D)（2，4）
????????????????????????????????????????【解析】选B.因为BC?AC?AB?(?1,?1)?AD,BD?AD?AB?(?3,?5)，选B.
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