天水市一中2008级2010—2011学年第一学期第四阶段考试
数学试题（理科）
命题、审核：蔡恒录
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．满足条件A?{1,2}?{1,2,3}的集合A有 A．1个
B．2个
C．4个
D．8个
（ ）
??????5??2．已知向量a=（1，2），b=（?2，?4），|c|=5，若（a?b）·c=，则a与c的夹
2角为 （ ） A．30° B．60° C．120°
D．150°
x)(x?R)的3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，值域为[—2，3]，则y?f(值域为
A．[—2，2]
（ ） B．[—2，3]
C．[—3，2]
D．[—3，3]
4．若OP,2)，OPOP2分别是直线l1:ax?(b?a)y?a?0，1?(12?(?2,1)，且OP1, 则a，b的值分别可以是 （ ） l2:ax?4by?b?0的方向向量，
A．2，1 B．1，2 C．-1，2 D．-2，1
5.已知函数y?f(x)在(a,b)上的导函数y?f?(x)的图象如图所示，则函数y?f(x)在(a,b)上的极小值的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
6. 已知a、b为非零实数，且a 2211B．> ab11C．2<2 abab11>D． a-ba（ ） 7.如果实数x、y满足(x?2)2?y2?3，则y的最大值为 xC． A． 1 2B． 3 33 2D．3 8.若将函数f(x)?sinx?cosx的图象按向量a?(m,0)(m?0)平移后，所得图象恰好为函数 y?sinx?cosx的图象，则m的值可以为 （ ） 第 1 页 共 9 页 A． ? 4B． 3? 4C．? D． ? 29.平面?∥平面?的一个充分条件是 （ ） A．存在一条直线a，a∥?,a∥? B．存在一条直线a，a??,a∥? C．存在两条平行直线a,b，a??,b??，a∥?,b∥? D．存在两条异面直线a,b，a??,b??，a∥?,b∥? 10. 已知数列{an}中,a1?1,nan?1?2(a1?a2???an)(n?N*)，则数列{an}的通项（ ） A．an?n C．an? B．an?2n?1 n?1 2n D．an??(n?1)?1 n?1(n?2)?11．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC+ccosA的值为 ( ) A．b. B． c C．2cosB. D．2sinB. x2y212．已知双曲线方程2?2?1(a?b?0)，过右焦点F2且倾斜角为60°的线段F2M与 ab??????????y轴交于M，与双曲线交于N，已知MF2?4NF2，则该双曲线的离心率为 A． （ ） 13?113?1 B．13?1 C．D．13?1 33 DA1 C1 B1 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点M是棱 BC上的中点，则D1B与AM所成角的余弦值是 . ?x?sin()(?1?x?0)?14．函数f(x)??,则f(1)= 。 3??f(x?1)(x?0)D A B C M ?0?x?2?2215. 在条件?0?y?2下,Z?(x?1)?(y?1)的取值范围是 。 ?x?y?1?16. 设P为抛物线y?x上一点，当P点到直线x-y-2=0的距离最小时，P点的坐标为__________________. 第 2 页 共 9 页 2 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （本题满分10分） 在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinBcosC??2sinA?sinC?cosB． （I）求B的大小； （II）若b?2，a?c?4，求?ABC的面积． 18.（本题满分12分） 数列{bn}是递增的等比数列,且b1?b3?5,b1b3?4. （I）求数列{bn}的通项公式； （II）若an?log2bn?3,且a1?a2?a3???am?42,求m的最大值。 19. （本题满分12分） 已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形， P M A B C AB//DC,?DAB?90,PA??底面ABCD， 1PA?AD?DC?AB?1,M是PB的中点. 2（I）证明：平面PAD?平面PCD； （II）求AC与PB所成的角； （III）求平面AMC与平面BMC所成角的大小. 20. （本题满分12分） D ????已知向量a?(?cosx,sinx),b?(cosx,3cosx),函数f(x)?a?b,x?[0,?]. （I）求函数f(x)的最大值； ??（II）当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小。 21. （本题满分12分） 已知函数f(x)?lnx,g(x)?12ax?bx(a?0) 2（I）若a??2时,函数h(x)?f(x)?g(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围； （II）若a=2,b=1，若函数k=g(x)2f(x)x2在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 k的取值范围； （III）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。 22. （本题满分12分） x2y2设直线l:y?x?m，双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)，双曲线E的离心率为3,l与E交 ab第 3 页 共 9 页 ????????????于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且OP?OQ??3,PR?3RQ （I）证明：4a2?m2?3; （II）求双曲线E的方程； ?????????（III）若点F是双曲线E的右焦点，M、N是双曲线上两点，且MF??FN，求实数?的 取值范围. 第 4 页 共 9 页 天水市一中2008级2010—2011学年第一学期第四阶段考试 理科答案 一、CCDAD CDDDA AＣ 二、填空题 13、 1153?11? 14、－ 15、[,2] 16、?,? 2152?24?三、解答题 17. 解：（1）由正弦定理得sinBcosC?(2sinA?sinC)cosB，-----------2分 即有sinBcosC?cosBsinC?sin?B?C??sinA?2sinAcosB．-----3分 由于sinA?0，知cosB?1?，且0?B??，故B?．----------5分 23a2?c2?b21?，代入b?2，a2?c2?(a?c)2?2ac?16?2ac （2）由于cosB?2ac2得12?2ac?ac?ac?4，所以?ABC的面积S? ………………10分 18. 解：（I）由?1acsinB?3. 2?b1b3?4知b1,b3是方程x2?5x?4?0的两根， ?b1?b3?5 注意到bn?1?bn得b1?3,b3?4. 2?b2?b1b3?4得b2?2.?b1?1,b2?2,b3?4 ?等比数列{bn}的公比为b2?2,?bn?b1qn?1?2n?1 …………6分 b1 （II）an?log2bn?3?log2an?1?3?n?1?3?n?2 ?an?1?an?[(n?1?) 2?]n?[?2]1,?数列{an}是首项为3公差为,的等差数列1. m(m?1)m2?ma1?a2?a2???am?m?3??1?3m??4222整理得m2?5m?84?0,解得?12?m?7, ?m的最大值是7 ………………12分 19. 方法一：（I）证明：?PA?底面ABCD,CD?AD， 由三垂线定理得CD?PD，则CD?平面PAD， ?平面PCD?平面PAD. 第 5 页 共 9 页