（II）解：过点B作BE//CA，且BE?CA，则?PBE是AC与PB所成的角.
,?DP是BA与底面PBABCD所成的角. ?PA?底面ABCAB2?. PA?1,AB则?2,PB?5,cos?PBA?PB5
又AC?2,BC?AD2?(AB?CD)2?2.
??ABC是等腰直角三角形，?BAC?45???ABE.
则cos?PBE?cos?PBA?cos?ABE?2210??.
55210. 5（III）解：作AN?CM，垂足为N，连接BN.在直角?PAB中，AM?MB,又AC?CB, 得?AMC??BMC,?BN?CM. 则?ANB是所求二面角的平面角.
?CB?AC,CB?PA，得CB?面PAC，?CB?PC.
在直角?PCB中，CM?MB，所以CM?AM. 在等腰?AMC中用等积变换，
?AC与PB所成的角为arccos
AN?MC?CM2?(AC2526)?AC?()2?()2?2?, 2222 ?AN?656??. 225AN2?BN2?AB22?AB?2,?cos?ANB???.
2AN?BN32 则所求的二面角为arccos(?).
3????????????方法二：?PA?底面ABCD，AB?AD,?AD,AB,AP构成空间坐标系，各点坐标是
1A(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),P(0,0,1),C(1,1,0),M(0,1,).
2????????????????????????（I）证明：AP?(0,0,1),DC?(0,1,0)，由AP?DC?0,得AP?DC.
由AB//CD,AB?AD,得CD?AD,则CD?平面PAD. 所以平面PCD?平PAD.
（II）解：AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,
????????????????????????
????????????????10AC?PB10??????. cos?AC,PB?????.所以AC与PB所成的角为arccos55|AC|?|PB|?????????????N(x,y,z)（III）解：在MC上取一点，则NC??MC(??R)，NC?(1?x,1?y,1?z),
第 6 页 共 9 页
???????????????????????11 MC?(0,1,?)，?x?1??,y?1,z??,要使AN?MC，则需AN?MC?0,
225525??????????????????12????12????12 (,1,),AN?(,1,),BN?(,?1,).?BN?MC?0,?BN?MC,从而?ANB为 所
555555????30????30????????4,|BN|?,BN?AN??. 求二面角的平面角。|AN|?555????????????????BN?AN22 cos?AN,BN????????????.所以所求二面角为arccos(?).
33|AN|?|BN|?????????????4214 即x?z?0，解得??.由NC??MC得NC?(0,,?)，则N点坐标为
??20解：（I）f(x)?a?b??cos2x?3sinxcosx ………………2分
?311sinx2?coxs2??222sixn(?26?1 ………………4分 ? )2 ?x?[0,?],?当x? （II）此时x??3时,f(x)max?1?11? ………………6分 22?3??,设向量a与b夹角为?,则cos??11? ………………10分
2a?b ………8分
|a|?|b| ?1?4coxs4cos3????所以向量a与b夹角为 ………………12分
321解：（I）?h(x)?lnx?x?bx,且函数h(x)定义域为(0,??)
21?2x?b?0对x?(0,??)恒成立， x11 ?b??2x,?x?0,??2x?22，
xx ∴依题知h?(x)? ?b?22 ………………4分
（II）函数k(x)?g(x)?2f(x)?x在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程 x?2lnx?a，在[1，3]上恰有两个相异实根。 令?(x)?x?2lnx,则??(x)?1?2当x??1,20,x???时?,?x(?)当在[1,上是单调递减函数2], ?(x)2, x2,?3??时x,?()0,
在?2,3.?x(mi)n???上是单调递增函数故(?2)?22ln2.第 7 页 共 9 页
又?(1)?1,?(?3)?3?只需?(2)
故2?2lnx?a?3?2ln3. ………………8分 （III）设点P(x1,y1),Q(x2,y2),且0 则PQ的中点R的横坐标xR?x1?x2, 2C1在点M处的切线的斜率为k1?1xx?x1?x2?22, x1?x2x1?x2?b， 2C2在点N处的切线的斜率为k2?ax?bx?x1?x2?2假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1?k2， 22(x1?x2)a(x12?x2)即??b(x1?x2)x1?x22a2a?(x2?bx2)?(x12?bx1)22?y2?y1?lnx2?lnx1?ln2(x2,x1 x2?1)x2(x1?x2)x1?ln2??,x2x1x1?x21?x1设u?x22(u?1)?1,则lnu?(u?1) ………………① x11?u2(u?1)(u?1), 1?u令r(u)?lnu?14(u?1)2则r?(u)???(u?1). 22u(u?1)u(1?u)?u?1,r?(u)?0,?r(u)在(1,??)上单调递增， 故r(u)?r(1)?0,lnu?2(u?1) ………………② u?1∵①与②矛盾， ∴假设不成立，故C1点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 …………12分 第 8 页 共 9 页 cb2b222. 解：（I）?双曲线离心率e?3,?e??1?2?3,2?2,b2?2a2. aaa?y?x?m?设直线l方程为y?x?m,由?x2y2，及b2?2a2得x2?2mx?m2?2a2?0①， ?2?2?1b?a设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1,x2是①的两根，x1?x2?2m,x1?x2??m2?2a2②. ?????????OP?OQ??3,x1?x2?y1?y2??3,即x1?x2?(x1?m)(x2?m)??3, 2x1?x2?m(x1?x2)?m2?3?0.③将②代入③得2(?m2?2a2)?m2?3?0. x2y2即4a?m?3④.得证2?2?1 ab22 ?????????x1??3x2（II）易知R(0,m),PR?3RQ,?(?x1,m?y1)?3(x2,y2?m),?， y?4m?3y?12?x2??m将x1??3x2代入 ②得?2,?m2?a2⑤解④、⑤得a2?1. 22?3x2?m?2ay2?1. 双曲线E的方程为x?22 （III）双曲线E的右焦点F为(3,0). ?????????设M(x3,y3),N(x4,y4),?MF??FN,(3?x3,?y3)??(x4?3,y4)， ??x3?3(1??)??x4. ???y3???y422?y2?2[3(1??)??x4]?(??y4)?2?1得?把M、N两点坐标代入x? 222??2x4?y4?22 整理得(2??1)(??1)?3?(??1)x4.???0，且??1,?x4??|x4|?1,?|2??1|?1，得???2?3或??3?2， 3?2??1. 3?因此所求?的范围是(??,?2?3]?? ?3?2,0?(0,??).?第 9 页 共 9 页