2012年高考真题理科数学解析汇编：平面向量
一、选择题
1 ．（2012年（天津理））已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足
????????????????????????3,AQ=(1??)AC,??R,若BQ?CP=?,则?= （ ） AP=?AB2A．
12 B．
1?22 C．
1?102 D．
?3?222 （ ）
2 ．（2012年（浙江理））设a,b是两个非零向量.
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
3 ．（2012年（重庆理））设x,y?R,向量a??x,1?,b??1,y?,c??2,?4?,且a?c,b//c,则
a?b?_______ （ ）
B．10 C．25 D．10
?b?成立的|b|A．5 ???a4 ．（2012年高考（四川理））设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使??|a|充分条件是
??A．a??b
（ ）
??B．a//b
??C．a?2b
????D．a//b且|a|?|b|
5 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a?b|,则下面结论正确的
是
A．a∥b C．{0,1,3}
（ ）
B．a⊥b D．a+b=a?b
????????6 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC中,AB=2,AC=3,AB?BC= 1则BC?___. （ ）
A．3 B．
7 C．22 D．23 ??????7 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量?和?,定义??????,若平
面向量a、b满足a?b?0,a与b的夹角???0,???,且a?b和b?a都在集合
4??n?n?Z??中,则a?b? 2??（ ）
3252A．
12 B．1 C． D．
（ ）
????????????8 ．（2012年高考（广东理））(向量)若向量BA??2,3?,CA??4,7?,则BC?
A．??2,?4? B．?2,4? C．?6,10? D．??6,?10?
9 ．（2012年高考（大纲理））?ABC中,AB边上的高为CD,若
??????????????????（ ） CB?a,CA?b,a?b?0,|a|?1,|b|?2,则AD?
4?4?D．a?b
55????10．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量OP按逆时针
1?1?A．a?b
332?2?B．a?b
333?3?C．a?b
55旋转
3?4????后,得向量OQ，则点Q的坐标是
（ ）
D．(?46,2)
A．(?72,?2) B．(?72,2)
二、填空题
C．(?46,?2)
??????
11．（2012年高考（新课标理））已知向量a,b夹角为45,且a?1,2a?b??b?_____
10;则
12．（2012年高考（浙江理））在?ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则
????????AB?AC=______________.
?313．（2012年高考（上海理））在平行四边形ABCD中,∠A=|BM||BC|, 边AB、AD的长分别为2、,则AM?AN的取值范围是
1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足_________ .
?|CN||CD|14．（2012年高考（江苏））如图,在矩形ABCD中,AB?????????中点,点F在边CD上,若AB?AF?2，BC?2，点E为BC的
????????2,则AE?BF的值是____.
15．（2012年高考（北京理））已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则
????????DE?CB的值为________;
????????DE?DC的最大值为________.
??????16．（2012年高考（安徽理））若平面向量a,b满足:2a?b?3;则a?b的最小值是_____
2012年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案
一、选择题 1. 【答案】A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【
析】????????????????????????????????????????∵BQ=AQ?AB=(1??)AC?AB,CP=AP?AC=?AB?AC,
????????3又∵,且BQ?CP=?2????????????????????????????????00,,=60AB?AC=|AB?||AC|cos60=2,∴|AB|=|AC|=2????????????????3[(1??)AC?AB](?AB?AC)=?2????????????????3222?|AB|+(????1)AB?AC+(1??)|AC|=24?2解
BPCQA,
,
+所
4以
(1)=+??2?(?32??=1?,解得. )122. 【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实 数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共
线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 3. 【答案】B
??????【解析】由a?c?a?c?0?2x?4?0?x?2,由b//c??4?2y?y??2,
??故|a?b|?(2?1)?(1?2)?2210. 【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键
????在于根据a?c、b//c,得到x,y的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.
4. [答案]D
??ab[解析]若使???成立,则a与b方向相同，选项中只有D能保证,故选D.
|a||b|[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B
【解析一】由|a+b|=|a?b|,平方可得a?b=0, 所
a⊥b,故选B
【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a?b|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a?b|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.
解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.
6. 【答案】A
【解析】由下图????????????????????AB?BC= ABBCcos(??B)?2?BC?(?cosB)?1.
1?2BC知A?cosB?.又由余弦定理知cosB?AB?BC?AC2AB?BC222,解得
BCBC?3.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB,BC的夹角为?B的外角. ????b?a7. 【解析】C;因为b?a????a?a???|b|???cos??cos??1,且a?b和b?a都在集合
|a|??????????????1|b|1|a|?n?|n?Z??cos??2cos2??2,且b?a??a?b?中,所以,,所以??2|a|2cos??2?|b|??3????2aa?b?2cos??1,所以1?a?b?2,故有?b?,选C.
2????|a|??k1k2kk|b|2【另解】C;a?b??cos??1,b?a??cos??2,两式相乘得cos??,
422|b||a|因为???0,????4??,k1,k2均为正整数,于是22?cos??k1k22?1,所以2?k1k2?4,
????3所以k1k2?3,而a?b?0,所以k1?3,k2?1,于是a?b?,选C.
28. 解析:A.BC?BA?CA???2,?4?. 9. 答案D
????????????【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角
形求解点D的位置的运用.
??【解析】由a?b?0可得?ACB?90?,故AB?5,用等面积法求得CD?255,所以
AD?455????4????4????????4?4?,故AD?AB?(CB?CA)?a?b,故选答案D
555510. 【解析】选A
????34【方法一】设OP?(10cos?,10sin?)?cos??,sin??
55
????3?3?则OQ?(10cos(??),10sin(??))?(?72,?2)
44?????????3?【方法二】将向量OP?(6,8)按逆时针旋转后得OM?(8,?6)
2??????????1???则OQ??(OP?OM)?(?72,?2)
2二、填空题
?11. 【解析】b?32 ??2a?b????2??2?10?(2a?b)?10?4?b?4bcos45?10?b?32
12. 【答案】?16
【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设?ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC=34. cos∠BAC=
34?34?1002?34??817????????.AB?AC=
????????AB?ACcos?BAC??1632
13. [解析] 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(1,2),C(5,232).
y 设|BM||BC|?|CN||CD|t23t2?t?[0,1],则|BM|?t,|CN|?2t,
A D N B C M 所以M(2+,),N(-2t,
5232),
3t2x t故AM?AN=(2+2)(5-2t)+2?
32=?t2?2t?5??(t?1)2?6?f(t),
因为t?[0,1],所以f (t)递减,( AM?AN)max= f (0)=5,(AM?AN)min= f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
14. 【答案】2.
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.
?【解析】由AB?AF????????????????2,得AB?AF?cos?FAB?2,由矩形的性质,得
????AF?cos?FAB=DF.
∵AB?2,∴2?DF?2,∴DF?1.∴CF?2?1.
????????记AE和BF之间的夹角为?，?AEB??,?FBC??,则?????.
又∵BC?2，点E为BC的中点,∴BE?1. ∴
????????????????????????????????AE?BF=AE?BF?cos?=AE?BF?cos?????=AE?BF??cos?cos??sin?sin??
????????????????=AEcos??BF?cos??AEsin??BFsin?=BE?BC?AB?CF?1?2?2?2?1??2.
本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.
15. 【答案】1;1
????????????????????????【解析】根据平面向量的点乘公式DE?CB?DE?DA?|D|E?|D|Aco?s,可知
????????|DE|co?s?|DA|?D?|2,
??????????????????????因
?此
?????D;DEE?DC??|D|E|?|DCC|cos??|DE?1|?cos?,B而|DE|cos?就
????????????????是向量DE在DC边上的射影,要想让DE?DC最大,即让射影最大,此时E点与B点
????重合,射影为|DC|,所以长度为1
【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
??916. 【解析】a?b的最小值是?
8???2?2??2a?b?3?4a?b?9?4a?b ?2?2??????????94a?b?4ab??4a?b?9?4a?b??4a?b?a?b??8