其中成绩在[65,70)的考生至少有一人的事件有：
(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f), (d,e),(d,f),(e,f),共14种．
14. ?????? 12分 153?????， 19．解：（Ⅰ）由表格给出的信息可以知道，函数f(x)的周期为T?442????2.由sin(2?(?)??)?0，且0????，得??．??4分 所以???42?所以函数解析式为f(x)?sin(2x?)（或者f(x)?cos2x）． ????6分
2??（Ⅱ）h(x)?f(x?)?3f(x)?cos(2x?)?3cos2x
42??sin2x?3cos2x?2sin(2x?) ， ?????????9分
3????5?1?又因为x?[?,]，所以??2x??，所以??sin(2x?)?1，
4463623所以成绩在[65,70)的考生至少有一人的概率为P?所以函数h(x)的最大值是2，最小值是?1．??????????????12分
20．解：（I）如图，取BC中点D，连QD，
由QB?QC得QD?BC， ∵平面QBC⊥平面ABC，
∴QD?平面ABC， ??????2分 又∵PA⊥平面ABC， ∴QD∥PA， ??????????4分 又∵QD?平面QBC，
∴PA∥平面QBC． ??????6分 （Ⅱ）连接AD，则AD?BC．
∵平面QBC⊥平面ABC，面QBC∩面ABC?BC，∴AD⊥平面QBC． 又∵PQ?平面QBC，∴PQ∥AD． ??????8分 又由（Ⅰ）知，四边形APQD是矩形，
∴PQ?AD，PA?QD． ??????????????10分 ∴VQ?PBC?VP?QBC?而VP?ABC?Q P
C D A
B 11?(?BC?QD)?PQ， 3211?(?BC?AD)?PA，则VQ?PBC?VP?ABC．????????12分 32A D ? y 21．解法一：（Ⅰ）当l?y轴时，|AB|?4?2a?4， x
B 当l?x轴时，|AB|?3，得解得a?2，b?1．
(?1)?2a2(32)2?1， 2bx2?y2?1．????5分 所以椭圆C的方程为：4x2?y2?1联立，得(t2?4)y2?2ty?3?0． （Ⅱ）设直线l:x?ty?1，与方程4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?因为|AB|?2|OM|，即|OM|?2t3yy??， ．?① 12t2?4t2?4????????所以OA?OB，即OA?OB?x1x2?y1y2?0， ????????????8分
所以(ty1?1)(ty2?1)?y1y2?0，则(t2?1)y1y2?t(y1?y2)?1?0，
1|AB|， 2?3(t2?1)2t21t????1?0将①式代入并整理得：，解出， 222t?4t?4此时直线l的方程为：x??1y?1，即2x?y?2?0，2x?y?2?0．??12分 2解法二：（Ⅰ）同解法一 ????????????5分
x2?y2?1联立，得(t2?4)y2?2ty?3?0．?（﹡）（Ⅱ）设直线l：x?ty?1，与 4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?222t3y?y??，． 1222t?4t?42从而|AB|?1?t|y1?y2|?1?t?(y1?y2)?4y1y2
2t2341?t2?t2?3?1?t?(2)?4?(?2)?． ???????8分 2t?4t?4t?42设M(x0,y0)，则x0?x1?x2t(y1?y2)y?y2?4t??1?2?2，y0?1． 22t?42t?441?t2?t2?3?42t2由|AB|?2|OM|得：?2()?()，
t2?4t2?4t2?442422整理得4(t?4t?3)?t?16，即 4t?15t?4?0，
2即(t2?1)(4t2?1)?0，解得t?11，从而t??．
24故所求直线l的方程为：x??1y?1， 2即2x?y?2?0和2x?y?2?0． ??????????????12分 22．解：（Ⅰ）f?(x)?lnx?1，
由已知得：??f(x0)?0,?lnx0?1?0, 得? ????????3分
?f(x)?0,0??x0lnx0?2x0?k?0,解得k?e． ????????????????????????4分 当x?(0,e)时，f?(x)?0，当x?(e,??)时，f?(x)?0，
所以函数f(x)单调减区间是(0,e)，增区间是(e,??)． ???????6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?xlnx?2x?e， 依题意，直线l1和l2的斜率分别为f?(x1)和f?(x2)， 因为l1?l2，所以f?(x1)?f?(x2)??1， 所以(lnx1?1)?(lnx2?1)??1．?（*）
① 因为l1与l2的倾斜角互补，所以f?(x1)?f?(x2)?0，
即(lnx1?1)?(lnx2?1)?0，（**） ?????????????????8分 由（*）（**），结合x1?x2，解得lnx1?1??1，lnx2?1?1，
即x1?1，x2?e2． ?????????????????10分 ② 因为1?x1?e，所以0?1?lnx1?1，lnx2?1?1， 所以1?(1?lnx1)(lnx2?1)?[(1?lnx1)?(lnx2?1)21x]?(ln2)2，
24x1所以x2?x1?e2 ，当且仅当x1?1时，等号成立．
又因为x1?x2?x1?x1e2?x1(1?e2)?e2?1，当且仅当x1?1时，等号成立． 所以x1?x2?[e2?1,??)． ??????????????????14分