三角恒等变换
4.1两角和与差的三角函数
【知识网络】1．熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
２．灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形等；
３．要学会辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：
??(???，)??,??(??)??2???(???)?(???), 2??(???)?(??等等．?
【典型例题】 ［例1］(1)已知?∈(
3??,?)，sin?=,则tan(??)等于
52411A. B.7 C.－ D.－7 77 (1)A
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）
A.－
1 2 B.
31 C.－
22 D.
3 2(2)B
2cos10??sin20? (3) 的值是 （ ）
sin70?31 B. C.3 D.2
22000（3）C提示：10?30?20
11(4) 已知cos?－cosβ=，sin?－sinβ=，则cos（?－β）=_______.
2359（4） 提示：两式平方相加
72A.
(5) 已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则co(s A)?B＝_____．
（5）?2 2［例2］设cos（?－
?1?2ππ）=－，sin（－β）=，且＜?＜π，0＜β＜，
932222求cos（?+β）.
?ππππ?π解：∵＜?＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.
2242422故由cos（?－
??451）=－，得sin（α－）=.
9922
由sin（
????5?2??－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（
3322222－β）］=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?15245 ????)=??933922?75?752392???∴cos（?+β）=2cos－1=2??-1=－. ????729227?27?［例3］求值：解：原式
2sin50??sin80?(1?3tan10?)1?cos10? ．
2sin80?132sin80????2sin50?(cos10?sin10)2sin50?cos(60??10?)??cos1022cos10? ???2cos52cos5222(sin50??cos50?)2cos(50??45?)22??2 ?cos5?cos5??
［例4］
已知△ABC中的三内角A、B、C成等差数列，且cosA?C的值． 2A?CA?CA?C，而A?，?222112，求???cosAcosCcosB思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到B?60??C?A?CA?CA?C．取作为基本量，就找到了解决本题的突破口． ?222解：由已知，B＝60°，A＋C＝120°，设A?C??,则 2A??A?CA?CA?CA?C??60???,C???60???.
22221111?? ?cosAcosCcos?60????cos?60?????113cos??sin?22cos?cos2??34?113cos??sin?222??22 cosB?cos?cos? ?133cos2??sin2?cos2??444依题设有??整理得: 42cos2??2cos??32?0,2cos??222cos??3?0.
????
?22cos??3?0,?2cos??2?0.故cos
【课内练习】
A?C2?. 221?tan15?１．化简等于 （ ）
1?tan15?3 (C)3 (D)1 (A)3 (B)2１．Ａ
２．下列四个命题中的假命题是 （ ） A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
２．Ｂ 提示：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得
sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.
３．(1?tan20)(1?tan21)(1?tan24)(1?tan25)? （ ）
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
３．Ｂ 提示：(1?tan20)(1?tan25)?1?tan20?tan25?tan20tan25?2
??????????????,sin(???)与sin??sin?的大小关系是 ( ) 2??A sin(???)?sin??sin? B sin(???)?sin??sin? C sin(???)?sin??sin? D 要以?,?的具体值而定
4. B 提示:sin(???)?sin?cos??cos?sin?,0?cos??1,0?cos??1
34ππ5．已知?∈（0，），β∈（，π），则snis??，cos(???)??，in? ____.
2255245． 提示：??(???)??，特别注意?的范围
254.对于任何?,???0,26．在△ABC中，tanA?tanB?tanC?33，tanB?tanA?tanC 则
∠B= .
6．
tanA?tanC? 提示：tanB??tan(A?C)??
1?tanAtanC3?7．若?,?,??(0,)，sin??sin??sin? cos?+cos??cos? ，则β－?的
2值为 .
1? 提示：移项后两边平方相加可得 cos(???)?
23? sin??sin??sin??0 得0?????
28．已知8cos(2???)?5cos??0，求tan(???)?tan?的值．
7．
解：∵2????(???)??，??(???)??，
∴8cos[(???)??]?5cos[(???)?a]?0， 得13cos(???)cos??3sin(???)sin?， 若cos(???)cos??0，则tan(???)?tan??13， 3若cos(???)cos??0，tan(???)?tan?无意义 9．化简
sin7??cos15?sin8?.
sin7??sin15?sin8?sin?15??8???cos15?sin8?cos?15??8???sin15?sin8?解: 原式?sin15?cos8??tan15?cos15?cos8? ?tan?60??45?? ? ? ?tan60??tan45?1?tan60?tan45?3?1?2?3.1?3
10．已知 cos(2???)?? 求:???的值．
1143??,sin(??2?)?，0??????． 14742解：?cos(2???)??5311? 且?2?????，?sin(2???)?14144 ?sin(??2?)?43??1且????2??，?cos(??2?)? 7427
?cos(???)?cos[(2???)?(??2?)]?cos(2???)cos(??2?)?sin(2???)sin(??2?) ??11153431???? 1471472?????
?3
作业本
4.1两角和与差的三角函数
Ａ组
1．满足cosαcosβ=
3+sinαsinβ的一组α、β的值是 （ ） 213π3πππππππA.α=，β= B.α=，β= C.α=，β= D.α=，β=
2326361241．Ａ解析：由已知得cos（α+β）=2．在△ABC中，cosA＝
3，代入检验得A. 233 652．Ｂ
A.－
53且cosB＝，则cosC等于 5133363B. C.－
6565（ ）
D.
63 65（ ）
3．．若3sinx－3cosx＝23sin（x＋φ），φ∈（－π，π），则φ等于
A．－3．A 4．已知tan（4．
? 6B．
? 6C．
5? 6D．－
5? 61π+α）=2，则的值为 ． 242sin?cos??cos?222 提示：分子1?sin??cos? 3 5．已知cosα=5．
111π，cos（α+β）=－，α、β∈（0，），则β= ． 7142?1 提示：同已知得cosβ=cos［（α+β）－α］=，
2331tanA6．已知锐角三角形ABC中，sin(A?B)?,sin(A?B)?.求 的值．
55tanB31解：?sin(A?B)?,sin(A?B)?,
553??sinAcosB?cosAsinB?,sinAcosB?????5?????sinAcosB?cosAsinB?1.?cosAsinB???5??7． 已知?、?为锐角,cos??2,tanA5??2. 1tanB541,tan???????,求 cos? 的值. 5343??解：??是锐角,cos??, ?sin??.又??、?为锐角, ???????.
5522131010?tan???????,可求出cos??????,sin???????,
10103