哈尔滨工业大学 2004/2005学年 春季学期
姓名: 班级： 学号： 工科数学分析（答案） 试题卷（A班）
考试形式（开、闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 % 题号 分数 一 二 三 四 五 六 七 八 卷 面 总 分 平 时 成 绩 课 程 总 成 绩
一、填空题（每题2分，共20分）
1．设f(x,y)?xe22y2得分 y，则fx?(0,1)? 2 x?(x?1)arcsin?2z
2．若z?f(x?y,xy)且f可微，则2?
?x
2???2xyf12???2xyf21???2f1??y2f22?? 4x2f113．曲面
z?y?ln遵守考试纪律注意行为规范x在点p(1,1,1)处的切平面方程是z法线方程是：
?(x?1)?(y?1)?2(z?1)?0,x?y?2z?0 x2?1y?1z?1?? ?1?124．函数f(x,y)?x?y?x?2xy?y的极大值为 不存在
44225．交换积分
?10dy?xydx??dy?01y2221?(1?y)20xydx的次序为?0dx?211?1?x2xx2ydy
6．区域D由直线y?x,y?0及x??2所围成，则二重积分
??cos(x?y)dxdy? cos2
D???? 7．函数u?xy?yz?zx在点(1,1,1)处沿向量l?i?2j?k方向的方向导
222数为 0 8．级数
2n?1n的收敛域为 [0,2) (x?1)?2n?13n?21limaf()?0 的收敛域为，则af(x)??xx?1nn?nnn??2n?1?? 9．已知级数
10．函数f(x)???00?x?1在?0,2?上展开的余弦级数和函数为
?2x1?x?2?00?x?1?2x1?x?2? ?x?1?1??4x?0,2二、选择题：（每题2分，共10分）
遵守考试纪律注意行为规范2x2y1．函数f(x,y)?4在(0,0)点处极限 B x?y4(A) 存在 （B）不存在 （C）等于1 （D）等于3
?x2?y222?xy2,x?y?02．函数f(x,y)??x?y2在(0,0)点处 D ?x?y?0?0??(0,0)不存在 （B）fyx??(0,0)不存在 （A）fxy??(0,0)?fyx??(0,0) （D）fxy??(0,0)?fyx??(0,0) （C）fxy1?22(x?y)sin?3．函数u??x2?y2?0?x2?y2?0x2?y2?0在(0,0)点处 D （A）偏导数不存在 （B）偏导数存在且连续
（C）可微且偏导数连续 （D）偏导数存在不连续
4．二型曲线积分
xdy?ydx?cx2?y2,c是任一条件简单封闭曲线正向 D
（A）等于0 （B）等于2? （C）等于1 （D）等于0或者2? 5．积分方程y???y??4x?e?x的通解为 C （A）C1?C2e?x （B）2x?4?e?x
（C）C1?C2e?x?x(2x?4?e?x) （D）C1?C2e?x?(2x?4?e?x) 三、计算
?x2?y2?z2?50dydz,（4分） 1．设?，求dxdx?x?2y?3z?4解：
dydz?2z?0 dxdxdydz?3?0 1?2dxdx 2x?2y解得：
dz2x?y? dx3y?2zdyz?3x? dx3y?2z
2．将如下Dirichlet问题
??2u?2u22??0x?y?1?22?y用极坐标表示（4分） ??x?u22?F(x,y)?x?y?1解：
?u?u?r?u???u?u?r?u?????????? ?x?r?x???x?y?r?y???y?2u??2u?r?2u????r?u?2r ????????2 22???x??r?x?r???x??x?r?x??2u?r?2u??????u?2?????r????x???2??x???x?????x2 ???2u??2u?r?2u????r?u?2r????????222???y??r?y?r???y??y?r?y??2u?r?2u??????u?2?????r????y???2??y???y?????y2 ??所以：
??2u1?u1?2u?????0r?1? ??r2r?rr2??2
?ur?1?F(cos?,sin?)?3．已知u?f(x,y,z)?zx， 求df(1,1,1)（4分） y1z1zxxdx?xy?dz
2xy23yy2解：df(x,y,z)?f1dx?f2dy?f3dz?df(1,1,1)?211dx?dy?dz 2224.验证2xydx?(x?y)dy是某函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)。（4分）
?(x2?y2)?(2xy)解：由于，则原式是u(x,y)的全微分。 ?2x??x?y1u(x,y)?c??(x2?y2)dy?c?x2y?y3
305.计算I?y???xz2dydz?(2x?y2)zdzdx?(2?xy2y)zdxdy，其中?是半球
z?a2?x2?y2的上侧。(5分)
222解：?1:z?0,x?y?a的下侧
2222I????xzdydz?(xy?z)dzdx?(2xy?yz)dxdy?*???xz2dydz?(x2y?z2)dzdx?(2xy?y2z)dxdy?1????(x2?y2?z2)dxdydz???2xydxdyV?12?2?a4
??d??d??r0002?0sin?dr???2xydxdyD2??a5?52??a55a2d?2???(sin?cos?)?d?03x?4展为马克林级数（4分）
x2?x?61323x?413111解: 2 ?5?5??x?x?6x?3x?2151?x51?x326.将函数
??11nn又因为??(?1)x x?1，且??xn x?1
1?xn?01?xn?0所以
n3x?413?1?xnnx??(?1)n??n2x?x?615n?035n?0213(?1)11n??(?n)xn15352n?0?n x?2
7.将函数f(x)?x，(0?x??)展成余弦级数，并求级数
1的和。 ?2n?1n（5分）
?解：令g(x)????x,???x?0
?x,0?x??