?Lu?f?x,u,Du?,x?? ?x????Bu??,若边界条件是Bu?u，那么上下解的光滑性条件可以减弱为u,u?C??C2???. 定理：假设在??上a?x??0，函数u,u为上述边值问题的上下解，并且满足u?u。记
??c?minu，c?maxu。又设f?x,u,??关于x??，u?u,u以及???n满足Nagumo
????条件，即存在连续函数?:R??R?,使得
f?x,u,?????u?1??,?x??,u?u,u,???n.
2????那么上述边值问题存在解u，并且满足
u?u?u,Du??N,
其中N是依赖于u,u,?,L的系数的Nagumo常数.
此定理的意义在于判断椭圆型方程解的存在性。同样，对于椭圆型方程组也有类似的结果，这与抛物型方程的上下解方法是不一样的，抛物型方程的上下解方法在判断解的存在性的同时，还给出了解的唯一性。要注意椭圆型和抛物型方程的比较。
上下解的方法虽然简单初等，但是困难的是合理构造出上下解。结合叶其孝编写的《反应扩散方程》，现总结构造上下解的方法：常数上下解；常微分方程法；转化为偏微分方程法；利用第一特征值和特征函数等等。 课后习题中的重要结论：
研究边值问题
???w?q?x?w?kw?f?x?w2,x?? ?x????w?0,假定q,f?C?且在?上f?0，k是一个常数，则
（1） 如果上述问题有一个正的严格下解w，则上述问题有唯一的正解w，并且
???1?q??k,w?w.
（2） 如果?1?q??k，则上述问题有唯一的正解.
书的第四章内容主要介绍了非线性泛函分析中的拓扑度理论和分支（也称为分歧，或分叉）理论，因为此理论也是研究椭圆型方程和方程组的边值问题的解的存在性的重要工具。
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在书中，主要是介绍那些在椭圆型方程的应用中经常出现的有关拓扑度和分支理论的主要结果，可以看成是拓扑度和分支理论的速成。
先介绍了有限维空间的拓扑度（Brower度）：
定义：（1）如果y0是?的一个正则值，定义?在y0处的拓扑度为
d??,?,y0???sgnJ??xj?，
j?1n其中J?为J?的行列式，xj满足?xj?y0.
??（2）如果y0是?的一个临界值，存在正则值y ，满足y?y??。定义?在y0处的拓
??扑度为
deg(?,?,y0)?deg(?,?,y?)?d?,?,y?.
基本性质：
（1） 同伦不变性； （2） 可加性； （3） 切除性； （4） 乘积性质； （5） 连续映射的度； （6） 边界性质；
（7） 复合映射的Leray乘积；
再介绍Banach空间上的拓扑度（Leray-Schauder度）
定义：设X是一个Banach空间，??X是有界开集，K:??X是紧的，??I?K，
??y0??????.K?是K的有限维逼近，K?的像集属于有限维空间N??y0?N??，
???I?K? ，则
deg(?,?,y0)?deg(??,??N?,y0)
性质与有限维空间的Brower性质类似。特别地 （Leray-Schauder定理）
index(I??,x0)?deg(?,B??x0?,0)?(?1)?，
其中?是T?I?K??x0?的大于1的所有特征值的重数之和.
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分支理论：考虑方程
f?x,???0其中f?Cp,p?1，f?x,??把点?0,?0??X?R的某个邻域映入一个Banach空间Y，并且满足
f?0,?0??0.
定义：点?0,?0?称为一个分支点，如果?0,?0?的任意邻域都包含方程f?x,???0的一个解
?x,??并且x?0.
定理：f?C,p?2，f?0,?0??0.又假设
p（1）f??0,?0??0；
（2）Nfx?0,?0?是一维的，由x0生成； （3）Y1?Rfx?0,?0?的余维数是1； （4）f???0,?0??Y1,f?x?0,?0?x0?Y1.
那么点?0,?0?是一个分支点，并且f?x,???0的解的集合在点?0,?0?的邻域内由两条只在
?0,?0?相交的Cp?2类曲线?1,?2构成。
下面介绍一下椭圆型方程组解的稳定性与不动点指数的关系: 定义：记u?(u1,u2,?,um)，f?(f1,f2,?,fm).假设u是边值问题
的解，其中
??Lu?f(u),x????Bu?0,x???(1)L?diag?L1,?,Lm?，B?diag?B1,?,Bm?.
Li是散度型的二阶一致椭圆算子，系数有界，Bui为三种边界算子.
如果上述问题在u的线性化特征值问题
??Lv?Duf(u?)v??v,x?? ?x????Bv?0,的所有特征值?的实部都大于零，则称u是线性稳定的，否则，就称为不是线性稳定的。
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?如果??0是线性化特征值问题的特征值，则称u是退化的，否则就称为非退化的。
利用拓扑度方法研究（1）的解，通常是把它等价地转化为算子F的不动点问题，其中
F?u???M?L?M?0适当大，使得算子?M?L??1是紧的.
定理：如果u是线性稳定的，那么
??1?f?u??Mu?，
indexF,u??1.
最后一节内容是锥上的拓扑度理论。因为在椭圆型方程和方程组的齐次Dirichlet边值问题的正解研究中，通常需要限制在正锥上来讨论，故引进锥上的拓扑度。 几个重要的定义:
定义：设E是一个Banach空间，W?E称为一个楔，如果W是一个非空闭凸集，并且对任意的??0，有?W?W. 定义：对于y?W,
??Wy??x?E:?r?r?x??0,s.t.y?Rx?W???x?E:?r?r?x??0,s.t.y?tx?W,?0?t?r?
Sy?x?Wy:?x?Wy.
定义：设T:Wy?Wy是紧线性算子，称T具有?性质，如果存在t??0,1?，w?Wy\\Sy，使得w?tTw?Sy.
定理：如果I?F??y?在Wy上可逆，那么
（1）若F??y?具有?性质，则indexW?F,y??0；
（2）若F??y?不具有?性质，则index),其中?是F??y?的所有大于1的特W?F,y??(?1????F,y?. 征值的重数之和。当F??y?不具有?性质，则indexW?F,y??index第五章是利用前面建立的分支理论和锥上的拓扑度理论，研究两个椭圆型方程组的齐次Dirichlet边值问题正解的存在性、多解性、分支与稳定性。这两个例子分别是作者的发表的两篇文章。一个是带有修正的HollingⅡ型响应函数的捕食模型：
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???u?u?a?u?bvf?u,v??,x??????v?v?c?v?duf?u,v??,x?? ?u?v?0,x????其中u,v分别表示食物和猎物的分布函数，函数
f?u,v??1，
?1??u??1??v?并且所有的参数都是正常数。另一个是带有HollingⅡ型响应函数的捕食模型：
?v????u?ua?u???,x???1?mu????mv?? ?,x?????v?v?b?m?u????u?v?0,x?????其中a,b,m都是正常数。
文中主要是讨论了上面两种捕食模型的共存解?u,v??u?0,v?0?的存在性、多解性、分支与稳定性。两种模型采用的都是正锥上的拓扑度理论和分支理论。现在我自己对书中采用的方法做一下归纳：
要采用正锥拓扑度理论，必须要对所要讨论的问题做先验估计，估计出上下界，这是此法的前提条件，这个决定想采用锥上拓扑度理论研究问题时，在构造模型时必须注意，要使得所构造的模型有解的先验估计。比方说是上述问题讨论的正解，总是要先对正解做先验估计，估计出它的上下界，采用的方法是最大值原理、上下解方法和正解的唯一性等等。做出先验估计之后，然后做正锥，在正锥上讨论问题，找出问题的平凡正解和半平凡正解。将所要研究的问题转化为紧算子的不动点问题，利用锥上的拓扑度理论，求出每个平凡正解和半平凡正解的不动点指数（方法就是看看紧算子的导算子有没有?性质，利用前面的定理即可），然后利用拓扑度与不动点指数之间的关系（拓扑度等于不动点指数之和），来探讨共存解的存在性以及多解性。分支理论是严格按照分支定理来处理的，严格验证分支定理中的几条性质即可。正解的线性稳定性也是严格按照定义来处理，就是要证明所研究问题的线性化特征值问题的所有特征值的实部都是大于零即可。这里文章大部分采用的方法都是反证法，因为直接证不好证，所以采用反证法会使得问题好处理，并且中间的证明也多次用到第二章的特征值和特征函数的问题，这都是我从这本书中学到的思想，受益匪浅！
第六章讲的是图灵（Turing）模式，结合两个具有代表性的例子，利用抽象的拓扑度理
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