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12.(2010·全国Ⅰ卷)如右图，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内．已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P(3a，a)点离开磁场．求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围； (3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
解析： (1)沿y轴正方向发射的粒子在磁场中的运动轨迹如图甲中的弧OP所示，其圆心为C.由题给条件可以得出
∠OCP＝
2π
① 3
此粒子飞出磁场所用的时间为
Tt0＝②
3
式中T为粒子做圆周运动的周期．
设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得
R＝
23a③
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
qvB＝m④
RT＝
2πR⑤ v
v2
联立②③④⑤式，得
q2π＝. m3Bt0
(2)依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同．在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧MN上，如图甲所示．
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乙
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vP、vM、vN.由对称性可知vP与OP、vM与
OM、vN与ON的夹角均为π/3.设vM、vN与y轴正向的夹角分别为θM、θN，由几何关系有
2ππ
θM＝，θN＝
33
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足 2ππ
≤θ≤. 33
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图乙所示．由几何关系可知，
OM＝OP
由对称性可知，ME＝OP
从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间
tm＝2t0.
答案： (1)R＝
2
q2ππ2π
a ＝ (2)≤θ≤ (3)2t0
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