圆中辅助线的添设
? 类型之一 作垂线
图4－ZT－1
1．如图4－ZT－1，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC＝12，OA＝8，则BD的长为( )
A．20 B．19 C．18 D．16
2．如图4－ZT－2，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上任意一点，则OP长的取值范围是__________．
图4－ZT－2
图4－ZT－3
3．如图4－ZT－3所示，在⊙O中，弦CD交直径AB于点P，AB＝12 cm，PA∶PB＝1∶5，且∠BPD＝30°，则CD＝________ cm.
4．如图4－ZT－4，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E，F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
图4－ZT－4
︵
5．如图4－ZT－5，MN是⊙O的直径，A是MN的中点，⊙O的弦AB交直径MN于点C，且∠ACO＝2∠CAO.
(1)求∠CAO的度数；
(2)若⊙O的半径为3，求AB的长．
图4－ZT－5
? 类型之二 连半径
6．如图4－ZT－6，PA和PB是⊙O的切线，A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
图4－ZT－6
图4－ZT－7
7．如图4－ZT－7，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E，B，C，F都在以D为圆︵
心的同一圆弧上，且∠ADE＝∠CDF，则EF的长度为________(结果保留π)．
图4－ZT－8
8．如图4－ZT－8，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．
9．如图4－ZT－9，AB过圆心O，且AD＝OB，∠B＝45°.求∠A的度数．
图4－ZT－9
10．已知：如图4－ZT－10，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
图4－ZT－10
? 类型之三 构造弦
图4－ZT－11
︵
11．如图4－ZT－11，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠ABC＝48°，则∠DAB的度数为________．
12．如图4－ZT－12，已知⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于点E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于点M，连接MC，MD.
求证：∠AMD＝∠FMC.
图4－ZT－12
13．如图4－ZT－13①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.
(1)求证：∠CAD＝∠BAC. (2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，请说明理由．
图4－ZT－13
详解详析
1．A [解析] 如图，过点O作OE⊥BC于点E，由垂径定理，得BD＝2BE. ∵△ABC是等边三角形，BC＝12，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝12，则∠COE＝30°. ∵OA＝8，∴OC＝12－8＝4， 1
∴CE＝OC＝2，
2∴BE＝12－2＝10， 则BD＝2BE＝20.故选A.
2． 3≤OP≤5
1
[解析] 如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接AO，则AC＝CB＝AB＝4.
2在Rt△AOC中，由勾股定理，得
OC＝AO2－AC2＝52－42＝3.
因为OP的长不小于OC的长而不大于OA的长，故OP长的取值范围是3≤OP≤5.
3．8 2 [解析] 如图，过点O作OE⊥CD于点E. ∵AB＝12 cm，PA∶PB＝1∶5，
∴OA＝6 cm，PA＝2 cm，PB＝10 cm， ∴OP＝4 cm.
1
在Rt△POE中，OE＝OP＝2 cm.
2
连接OC，则CE＝OC－OE＝4 2 cm， ∴CD＝2CE＝8 2 cm.
4．解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF. ∵DB＝10 cm，∴OD＝5 cm， ∴AO＝AD＋OD＝3＋5＝8(cm)． 1
∵∠PAC＝30°，∴OG＝AO＝4 cm，
2即圆心O到AP的距离为4 cm. ∵OG⊥EF，∴EG＝GF.
∵GF＝OF－OG＝5－4＝3(cm)，
22222
2