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2015届高三第二次联考
理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．） 1、若集合A??lg1，lne?，B?x?Zx2?x?0， 则集合C??z|z?x?y,x?A,y?B?所有真子集的个数为 ．．．A. 3 B. 7 C. 8 D. 15 2、若复数z满足3?i?(z?1)i，则复数z的共轭复数z的虚部为 ．．
A．3 B．3i C．?3 D．?3i 3、下列函数中,既是偶函数又在区间(0,??)上单调递减的是
C.y? D.y??x2?1
x
24、从抛物线y?4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM?5，设抛物线A．y?ln|x| B.y?cosx
??1的焦点为F，则?PMF的面积为
A．5 B．10 C．15 D．20
?1?x?25、已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?若M(x,y)为D上?y?2给定．
?2x?y?2?的动点，点A的坐标为(2,1)，则Z??OA?AM的最大值为
? A．?5 B．?1 C．0 D．1 6、以下四个命题中
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②对于命题p：?x?R，使得x2?x?1?0. 则?p：?x?R， 均有x2?x?1?0； ③设随机变量 X?N(1,?2)，若P(0?X?1)?0.4，则P(0?X?2)?0.8；
④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1. 其中真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7、阅读如下程序框图，如果输出i?4，那么空白的判断框中应填入的条件是
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A．S?8? B．S?12? C．S?14? D．S?16?
8、某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有
A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 9、设函数f(x)?3sin(2x??4)?1,将y?f(x)的图像向右平移?(??0)个单位,使得到
的图像关于y对称,则?的最小值为
A.
??3?3? B. C. D. 84 8410、已知
f?x??3x?3x?m，在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以
f?a?,f?b?,f?c?为边长的三角形，则m的取值范围是
A. m?2 B. m?4 C. m?6 D. m?8
11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个 ．．．．．．．棱锥的三视图，则此棱锥的体积为
A.84282 B.C. D.83 33
x2y212、已知双曲线2?2?1的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右
ab支上的点，?PF且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的1F2的内切圆的圆心为I，垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率,则 A.OB?OA B. OA?eOB
C. OB?eOA D. OB与OA大小关系不确定
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知向量a、b满足a?2，b?3，且2a?b?13，则向量a在向量b方向上
的投影为 . 14、已知a1?x?m??a2?x?m??a3?x?m??a4?x?m??a5?x,
4432设m??0?x(sinx?1?2cos2)dx，则a2= .
2
15、某校对文明班级的评选设计了a,b,c,d,e五个方面的多元评价指标,并通过经验公式
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s?ab?cd?1e 来计算各班的综合得分,s的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程
中各项指标显示出0?c?d?e?b?a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得s的值增加最多，那么该指标应为 .（填入a,b,c,d,e中的某个字母）
16、已知?ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边,满足a?，且(a?b)(sin,n若三棱锥A?siBn?)c?(b)sCi3,b?1O?ABC的体积为5,则球O的表面积为 .
4三、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17、（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn?2an?2，数列?bn?是首项为a1，公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列． （1）求数列?an?与?bn?的通项公式； （2）设数列?cn?满足cn?1?，前n项和为Tn,若对于?n?N不等式Tn?t恒成立，bnbn?1求实数t的取值范围．
18、（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随．．机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为?5,15?，?15,25?，?25,35?，?35,45?，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图）， （1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小
球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在
求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率). ?5,15?内的小球个数为X，
19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，
PC?底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB?AD，AB//CD，AB?2AD?2CD?2， E是PB上的点. （1）求证：平面EAC?平面PBC；
（2）若E是PB的中点，且二面角P?AC?E的余弦值为A D
C P E B
6，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
320、（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为
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椭圆C上的动点，?PF1F2的面积最大值为3，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x?4y?5?0相切． （1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过定点(1,0)且与椭圆C交于A,B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM
与直线BM分别与y轴交于P,Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
21、（本小题满分12分）已知函数
f(x)?2lnx?x2?ax（a?R）．
1（1）若函数f(x)的图象在x?2处切线的斜率为?1，且不等式f?x??2x?m在[,e]上e有解，求实数m的取值范围；
（2）若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)，且0?x1?x2，
求证：f?(x1?x2． )?0（其中f?(x)是f(x)的导函数）
2
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，?ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线
?BAC的平分线分别交BC和圆O于点交CB的延长线于点P，
D、E，若PA?2PB?10. （1）求证：AC?2AB； （2）求AD?DE的值. 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C:?x??2?的直线l的参数方程为????y??4???，过点???2,?4??sin2??2acos?（a?0）
2t，直线l与曲线C分别交于?、?两点． 2（t是参数）2t2（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若??，??，??成等比数列，求a的值．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f?x??2x?1?x?4． （1）解不等式f?x??0；
（2）若f?x??3x?4?m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
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六校联考数学卷（理）参考答案与评分标准
一、 选择题
1~6 BADBDB 7~12 BCCCBA 二、 填空题
13、1 14、-8 15、C 16、64?
三、 解答题
17、解:（1）当n=1时a1?S1?2a1?2，a1?2，
当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2an?2)?(2an?1?2)?2an?2an?1， 得an?2an?1
∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为an?2n． ??3分
b1?a1?2，设公差为d，则由b1,b3,b11成等比数列，
得(2?2d)?2?(2?10d)， 解得d?0（舍去）或d?3
∴数列{bn}的通项公式为bn?3n?1． ??6分 （2）cn?211111??(?)??8分 bnbn?1(3n?1)(3n?2)33n?13n?2
则Tn1111111?(?????????)?1(1?1)??10分 325583n?13n?2323n?2 1∵T?1, ∴t? ??12分
n6618、解：（1）由题意，得?0.02?0.032?a?0.018??10?1， 解得a?0.03； ??2分 又由最高矩形中点的的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20克， ??4分 而50个样本小球重量的平均值为：
X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； ??6分
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