??111??????,yn?n? ?xn?aaa12n??3 设lim?xn?xn?2??0,求limn??xnnxnnn??,limxn?xn?1nxn?1n?1
n??解：令A?limxnnn??,则2A=limn???limn??=lim?xn?xn?1??lim?xn?1?xn?2?
n??n?? =lim?xn?1?xn?2??0，故A?0
n??类似的可考虑对lim1qxn?1nn??,利用stolz公式可得limxn?xn?1nn???0
4 设0?x1?，其中0?q?1，并且xn?1?xn?1?qxn?，证明limxn?n??1q
证明：可以验证xn为单调递减，且极限为0的数列故
n??n?1?1xn?1xn?11xn???，由stolz公式可得原
式=limn??=limxnxn?1xn?1?xnn???limxn?1?1?qxn?1?xn?1xn?1?xn?1?1?qxn?1?n??=lim1qn???1?qxn?1??1q
5 设x1?0,xn?1?ln?1?xn??n1,2,????，证明=limxn?2
n??可证明xn?0，利用x?0,ln?1?x??x
n??n?1?1xn?1xn?1xn?xn?1yn?yn?1limnxn?limn??n???limxn?1ln?1?xn?1?xn?1?ln?1?xn?1?n???limxln?1?x?x?ln?1?x?x?0?2（洛必达法则）
6 证明设?xn?，?yn?都是无穷小，且?yn?严格减小，如果limn??（a为?a，
有限数，或??,??），则limn??xnyn?a。
证明：当a为常数时，???0,?N，当n?N时，有a???xn?xn?1yn?yn?1?a??
即 ?a?????yn?yn?1??xn?xn?1??a????yn?yn?1? ?a?????yn?yn?p??xn?xn?p??a????yn?yn?p? 令p??，得?a???yn?xn??a???yn
故limn??xnyn?a。
当a???时，?G?0,?N，当n?N时，有
xn?xn?1yn?yn?1?G?xn?xn?p?G?yn?yn?p?
令p???，便可得xn?Gyn，即
xnynxnyn?G??n?N?
故limn?????。
当a???，只要令xn??xn?，便可转化为a???的情况。
习题1—6
1设f?x?在?a,???内可微，且limlimf??x??A。
f?x?x?A，则当limf??x?存在时，证明
n???n???n???证明：直接利用广义洛必达法则可得。
2 设f?x?在?a,???内二阶可导，且limf???\x??A。
x???证明limf??x?xn????A,limf?x?x2n????A2。
证明：直接可用广义洛必达法则。
3 设f?x?在?a,???内可微，limf?x?,limf??x?存在，证明limf??x??0。
n???n???n???证明：设A?limf?x??limn???xf?x?xn????limn????f?x??xf??x??
故limxf??x??0?limf??x??0
n???n???4 设f?x?在?a,???上连续，lim?f?x??n??????xaf??x?dt???A，
证明：limn????xaf?x?dt?A,limf?x??0
n???证明 令F?x???xaF?x??F??x??f?x?dt，则F??x??f?x?，故有lim???A，由x????n???例1.6.2可得limF?x??A,limf?x??0
n???5设f?x?在?a,???上可导，且对任意的??0，lim??f?x??xf??x????。证明
x???n???limf?x????。
x?????证明：lim?，由例1.6.4的结?fx?xfx???limfx?fx?????????????x????n???????论可得limf?x??n?????。
f?x?xlnx6 设f?x?在?a,???上存在有界的导函数，证明limf??x?lnx?1x????0
证明：原式?limn???，利用夹逼准则可证?M?f??x??M
7 设f?x?在?a,???上可导，a?0，若有lim??f?x??2xf??x???l
x?????证明limf?x??n???la4
3证明：取g?x??e3
ax2，利用前面的结论类似可证。