习题一
1. 用以样本点为元素的集合的形式写出下列试验的样本空间及事件A,B. 1) 投掷一颗骰子,记录出现的点数.A?“出现奇数点”.
2) 投掷一颗骰子两次,记录出现点数.A?“两次点数之和为10”,B?“第一次的点数比第二次的点数大2”.
3) 一个口袋中有5只编号分别为1,2,3,4,5的球,从中同时取出3只球,观察其结果.A?“球的最小号码为1”.
4) 将a,b两个球随机地放到甲,乙,丙三个盒子中去,观察放球情况.A?“甲盒中至少有一球”.
5) 记录在一段时间内通过某桥的汽车流量,A?“通过汽车不足5辆”,B?“通过的汽车不少于3辆”.
2. 设A,B,C都是事件,试通过对A,B,C,A,B,C中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件:
1) A,B,C中仅有A发生. 2) A,B,C中至少有两个发生. 3) A,B,C中至多两个发生. 4) A,B,C中恰有两个发生. 5) A,B,C中至多有一个发生.
3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:
A?“三次都是红的”,B?“三次颜色全同”,C?“三次颜色全不同”,D?“三次颜色不全同”,E?“三次中无红”,F?“三次中无红或无黄”. 解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有43?64种可能，因此样本空间含有64个样本点。
每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有23?8种可能，因此事件A含有8个样本点。
3次抽球都抽到紅球共有23?8种可能，3次抽球都抽到黄球共有13?1种可能，3次抽球都抽到白球共有13?1种可能，因此事件B含有8?1?1?10个样本点。
3 3种颜色的排列有A3对应于每一种排列，抽到的球有2?1?1?2种可能， ?3!?6种，
因此事件C含有6?2?12个样本点。
习题1-1
因为事件B含有10个样本点，故事件D?B含有64?10?54个样本点。
每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有23?8种可能，因此事件E含有8个样本点。
3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有33?27中可能，3次都抽不到红球和黄球有13?1中可能，因此事件F含有8?27?1?34个样本点。 由上可得
P(A)?8/64?1/8， P(B)?10/64?5/32， P(C)?12/64?3/16， P(D)?54/64?27/32， P(E)?8/64?1/8 P(F)?34/64?17/32。
4. 5个人依次抽5条签,取后不放回.
1) 如果5条签中有1条上签,求第3人抽中上签的概率. 2) 如果5条签中有1条上签,求前3人中有一人抽中上签的概率. 3) 如果5条签中有两条上签,求后两个人都抽不到上签的概率.
5解 5个人依次抽5条签,有A5?5!?120种结果，故样本点总数为120。
4 1） 第3人抽到上签,其余的人抽到余下的签,有A4?4!种结果,故所求的概率为
4!/5!?1/5。
4 2) 类似1),前3人中每人抽中上签都有A4?4!种结果,故共有3?4!种结果,所求的
概率为
(4!?3)/120?3/5。
3) 从这5条签中取出两条上签和1条非上签有3种可能，前3人抽取这3条取出的签有3!?6种可能，后2人抽取余下的两条签有2种可能，故共有3?6?2?36种结果，所求的概率为
36/120?3/10。
5. 袋中有10个球,其中有5个红球,3个黄球和2个白球.现从这10个球任取5个. 1) 求这5个球中恰有3个红球的概率.
2) 求这5个球中恰有3个红球,1个黄球和1个白球的概率.
5解 不考虑取球的次序，从10个球中选取5个有C10故样本点总数为252。 ?252种可能，3 1） 从5个红球中取出3个红球，有C5?10种可能，从剩下的5个球中取出2个2球，有C5?10种可能，故样本点数为10?10?100，所求得概率为
100/252?25/63。
3 2） 从5个红球中取出3个红球，有C5?10种可能，从剩下的5个球中取出1个
习题1-2
11黄球和1个白球，有C3C2?3?2?6种可能，故样本点数为10?6?60，所求得概率为
60/252?5/21。
6. 在5对夫妻中任选4人,求至少有一对夫妻被选中的概率. 解1 考虑选出的人的次序。
在5对夫妻10个人中选出4人有10?9?8?7?5040种可能，样本点总数为5040。 先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻被选中”含的样本点数。第1人可以在5对夫妻10人中任选，第2人可以在余下的4对夫妻8人中任选，第3人可以在余下的3对夫妻6人中任选，第4人可以在余下的3对夫妻4人中任选，故事件A含有10?8?6?4?1920个样本点。由上知A含有5040?1920?3120个样本点，事件A的概率是
3120/5040?13/21。
解2 考虑选出的人的次序。
4 在5对夫妻10个人中选出4人有A10?10!/6!?5040种可能，样本点总数为5040。
先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻被选中”含的
4样本点数。在5对夫妻中先选出4对排列，有A5?5!/1!?120种选法，在选中的这4对
中每对各选一人，有24?16种选法，故事件A含有120?16?1920个样本点。因而A含有5040?1920?3120个样本点，事件A的概率是
3120/5040?13/21。
4解3 不考虑选出的人的次序。在5对夫妻10个人中选出4人有C10?210种可能，样
本点总数为210。先求事件A“至少有一对夫妻被选中”的对立事件A“没有一对夫妻
4被选中”含的样本点数。在5对夫妻中先选出4对，有C5?5种选法，在选中的这4对
中每对各选一人，有24?16种选法，故事件A含有5?16?80个样本点。由上知A含有210?80?130个样本点，事件A的概率是
130/210?13/21。
7. 有9个学生,其中有3个女生,把他们任意地分到3个小组,每组3人.求每组都有一个女生的概率.
3解 不考虑分到各组的人的次序。在9个学生中选出3个人分到第1组有C9?84种可3能，在余下的6个学生中选出3个人分到第2组有C6?20种可能，把最后的3个学生
习题1-3
分到第3组有1种可能。样本点总数为84?20?1?1680。
21 在6个男生和3个女生中各选出2个和1个分到第1组有C6C3?45种可能，在余21下4个男生和2个女生中各选出2个和1个分到第2组有C4把最后的2C2?12种可能，
个男生和1个女生分到第3组有1种可能，事件含有45?12?1?540个样本点。所求的概率是
540/1680?9/28。
8. 同时投掷3个骰子,求掷出的3个面的点数之和是6的概率. 解 样本点总数为。投掷3个骰子，有63?216种可能的结果. 掷出的3个面的点数之和是6的结果的数目恰好等于多项式
Q(x)?(x?x2?x3?x4?x5?x6)3?x3(1?x?x2?x3?x4?x5)3
中x7的系数.因为
(1?x?x2?x3?x4?x5)3
?(1?2x?3x2?4x3?5x4?6x5?5x6?4x7?3x8?2x9?x10)(1?x?x2?x3?x4?x5) ?1?2x?3x2?4x3?5x4?6x5?5x6?4x7?3x8?2x9?x10 ?x?2x2?3x3?4x4?5x5?6x6?5x7?4x8?3x9?2x10?x11 ?x2?2x3?3x4?? ?x3?2x4?? ?x4?? ?x5??，
上式中x3的系数是4?3?2?1?10,故Q(x)中x6的系数是10.因而所求的概率是
10/216?5/108.
9. 某学校四个年级的学生各占四分之一,从中任意地抽出6名,求其中每个年级的学生都至少有一名的概率(设学生人数很多,抽取几个学生后各年级学生比例的改变可以忽略).
解 以Ai记取不到i年级的学生,i?1,2,3,4.则
P(Ai)?(3/4)6,1?i?6; P(AiAj)?(2/4)6,1?i?j?4;
P(AiAjAk)?(1/4)6,1?i?j?k?4; P(A1A2A3A4)?(0/4)6.
P(A1?A2?A3?A4)
习题1-4
?1?i?4?P(Ai)??P(AiAj)?1?i?j?41?i?j?k?4?P(AiAjAk)?P(A1A2A3A4)
1234 ?C4(3/4)6?C4(2/4)6?C4(1/4)6?C6(0/4)6?0.8066.
所求的概率是
1?P(A1?A2?A3?A4)?1?0.6191?0.3809.
10. 一个口袋中有标有号码1到5号的球各一个,另一个口袋中有标有号码3,5,7,10的球各一个.从这两个口袋中随机地各摸出一个球,则摸出的两个球的号码之和不少于9的概率是多少?
解 样本空间含有5?4?20个样本点，事件A?“两个球的号码之和不少于9”含有11个样本点(1,3)，(1,5),(1,7),(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,3)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)。所求的概率是
11/20。
11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.
解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的X天和Y天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当|X?Y|?1/2（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部
分面积为7/8，故两人的出生时间相差不到半天的概率为
7/8?7/16。 2
12. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?
解 设A?“订阅日报”，B?“订阅晚报”，C?“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?65%?55%?75%?30%?50%?40%?20%?95%。
13. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少?
习题1-5