解 掷五枚硬币，有25?32种结果，样本点总数是32。则Ai?“恰好出现i个正面”，
ii?0,1,2,3,4,5。在5枚硬币中选出i个，有C5种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬i币出现反面，有1种可能。故事件Ai含有C5个样本点。设B?“至少出现两个正面”，01则B的对立事件B?“至多出现一个正面”?A0?A1含有C5?C5?6个样本点，事件B含有32?6?26个样本点。因而
P(B)?26/32?13/16.
3又A3含有C5?10个样本点，故
P(A3)?10/32?5/16。
从而所求的条件概率为
P(A3|B)?P(A3B)P(A3)10/32???5/13。 P(B)P(B)26/32
14. 设P(U)?1/6,P(V)?5/12,P(U|V)?P(V|U)?7/10,求概率P(UV). 解 P(U|V)?P(V|U)?7/10，
15. 盒中放有6个乒乓球,其中有4个是新的.第一次比赛时从中任取2个来用,比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从盒中任取2个,求第二次取出的球都是新球的概率.又已知第二次取出的球都是新球,求第一次取到都是新球的概率.
解 设B0?“第一次取出的求中没有个新球”,B1?“第一次取出的求中有1个新球”，B2?“第一次取出的求中有2个新球”。A?“第二次取出的球都是新球”.则 P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)
P(UV)P(VU)??7/10， P(V)P(U)P(UV)P(VU)7/10??7/10， P(VU)??1/12。 5/121/612/5?621434232432124?96?24 ?????2??????????4/25.
656565656565900P(B2|A)?P(B2)P(A|B2)(4/6)?(3/5)?(2/6)?(1/5)??1/6.
P(A)4/25
16. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是p.求李小姐没有收到电子邮件的条件概率.
解 设A?”李小姐没有收到电子邮件”,B?“张先生没有收到李小姐的答复”.则
习题1-6
P(A)?p，P(B|A)?p，P(B|A)?1。 P(AB)P(A)P(B|A)p1P(A|B)????。
P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)p?(1?p)p2?p
17. 同卵双胞胎有相同的性别,异卵双胞胎有一半有相同的性别,双胞胎中同卵双胞胎的概率是p.如果某对双胞胎有相同的性别,求他们是同卵双胞胎的概率. 解 设A?“双胞胎为同卵”,B?“双胞胎有相同性别”.则
P(A)?p，P(B|A)?1，P(B|A)?1/2。 P(AB)P(A)P(B|A)p2pP(A|B)????。
P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)p?(1?p)/2p?1
18. 设有甲乙丙三个箱,甲箱内有a1个白球和b1个黑球,乙箱内有a2个白球和b2个黑球,丙箱内有a3个白球和b3个黑球.今任意取出一箱,再自此箱中任意取出一球,结果发现此球为白球.试求在这种情况下“取到的球属于甲箱”条件概率.
解 以A表示事件“取到的球是白球”,分别以B1,B2,B3表示“取到甲箱”,“取到乙箱”,“取到丙箱”.则
a3a1a21113P(A)??i?1P(Bi)P(A|Bi)??????，
3a1?b13a2?b23a3?b3P(B1)P(A|B1)?a2(a1?b1)a3(a1?b1)?P(B1|A)???1???.
P(A)a(a?b)a(a?b)122133??
19. 设A,B,C都是事件.又A和B独立,B和C独立,A和C互不相容.P(A)?1/2, P(B)?1/4,P(C)?1/8.求概率P(A?B?C).
?1解 P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C) ?1/2?1/4?1/8?(1/2)(1/4)?(1/2)(1/8)?13/16。
20. 两个人轮流抛一个硬币,约定谁先抛出正面谁为胜者.求先抛者获胜的概率. 解1 设Ai?“第i次抛出正面”，A?“先抛者获胜”。则
P(A)?P?????(2k?1)(A?AA)?P(A?AA)?2?2/3。 ??12k2k?112k2k?1k?1k?1k?1?????解2 设先抛者获胜的概率为x，则后抛者获胜的概率为x/2，解方程
x?x/2?1
习题1-7
得x?2/3，故先抛者获胜的概率为2/3。
21. 三个人轮流抛一个骰子,约定谁先抛出6点谁为胜者.求先抛者获胜的概率. 解1 获胜的概率为 P(A)?P??k?1(A1?A3kA3k?1)???k?1P(A1?A3kA3k?1)??k?1(5/6)?3k(1/6)?30/91。
??????解2 设先抛者获胜的概率为x，则第二个和第三个获胜的概率分别为为5x/6和25x/36，解方程
x?5x/6?25x/36?1
得x?30/91，故先抛者获胜的概率为30/91。
22. 设A,B都是事件.证明如果P(A)?1或P(A)?0,则A,B相互独立. 证 1）设P(A)?0。则
又0?P(AB)?P(A)?0，故P(AB)?0。因而
P(AB)?P(A)P(B)。
由此得A,B相互独立. 2) 设P(A)?1。则
P(A)?1?P(A)?0.
又0?P(AB)?P(A)?0，故P(AB)?0。因而
P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B)。
由此得A,B相互独立.
23. 小张,小李,小王三位朋友射击的命中率分别是0,2,0.3,0.4,每人射击一次,求至多有一人没有命中的概率.
解 分别以A，B和C记小张,小李和小王三位命中，则所求的概率是 P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?0.2?0.3?0.6?0.2?0.7?0.4?0.8?0.3?0.4?0.2?0.3?0.4?0.212。
24. 设线路中有元件A,B,C,D,E如图6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.
图6.1
习题1-8
“A断开”,B?“D断开”,E?“B断开”, C?“C断开”, D?“E断开”, 解 设A?T?“线路断开”.则P(A)?0.6,P(B)?0.5,P(C)?0.4,P(D)?0.3,P(E)?0.2.
P(T)?P{[(A?B)CD]?E}?P[(A?B)CD]?P(E)?P[(A?B)CDE] ?P(ACD)?P(BCD)?P(ABCD)?P(E)?P(ACDE)?P(BCDE)?P(ABCDE) ?0.6?0.4?0.3?0.5?0.4?0.3?0.6?0.5?0.4?0.3?0.2?0.6?0.4?0.3?0.2 ?0.5?0.4?0.3?0.2?0.6?0.5?0.4?0.3?0.2
?0.072?0.060?0.0360?0.200?0.0144?0.0120?0.0072?0.2768
解2 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.5?0.6?0.8, P[(A?B)CD]?P(A?B)P(C)P(D)?0.8?0.4?0.3?0.096,
P(T)?P{[(A?B)CD]?E}?P[(A?B)CD]?P(E)?P[(A?B)CD]P(E) ?0.096?0.2?0.096?0.2?0.2768.
25. 应聘某项工作要先后过4道关,各道关的淘汰率分别是60%, 50%, 50%, 20%,求应聘失败的概率.
解 分别以A，B，C和D记通过这4道关，以E记应聘成功。则
P(E)?P(ABCD)?P(A)P(B)P(C)P(D)?40%?50%?50%?80%?0.08。 因而应聘失败的概率为
P(E)?1?P(E)?0.92。
26. 在某个电子游戏中,甲乙两人同时向同一个目标射击,甲的命中率是0.5,乙的命中率是0.4.如果两人都命中目标,则目标“死亡”的概率是0.9.如果刚好有一人命中目标,则目标“死亡”的概率是0.6.如果无人命中目标,则目标“死亡”的概率是0. 1) 求目标“死亡”的概率.
2) 如果已知目标死亡,求两人都命中目标的概率. 3) 如果已知目标死亡,求甲命中目标的概率.
“甲命中”“乙命中”“目标死亡”解 设A?,B?,D?.
1) P(D)?P(AB)P(D|AB)?P(AB)P(D|AB)?P(AB)P(D|AB)?P(AB)P(D|AB) ?0.5?0.4?0.9?0.5?0.6?0.6?0.5?0.4?0.6?0.5?0.6?0. ?0.18?0.18?0.12?0.48。 2) P(AB|D)?P(AB)P(D|AB)0.5?0.4?0.93??.
P(C|D)0.488 习题1-9
3) P(A|D)?P(AB|D)?P(AB|D)? ?
27. 某人在罚球线投篮命中率为0.4,投篮3次.求最多只有一次命中的概率. 解 分别以A1，A2和A3记第1次，第2次和第3次投篮命中，所求得概率是
32P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.6?3?0.4?0.6?0.648。
P(AB)P(D|AB)P(AB)P(D|AB)?
P(D)P(D)0.5?0.4?0.90.5?0.6?0.63??.
0.480.484
28. 某人左右两个口袋各有一盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴.经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完,如果最初两盒中各有n根火柴,求这时另一盒中还有r根火柴的概率(提示:按照左边一盒或右边一盒为空盒分为两种情形,但必须注意到两盒都是空盒的情形).
解 可能出现两种情况：
1) 取了2n?r次以后，左边合中没有火柴，右边合中有r根火柴，第2n?r?1次取
n2n?r到左边的合子。出现这种情况的概率是p1?(1/2)C2。 n?r(1/2) 2) 取了2n?r次以后，右边合中没有火柴，左边合中有r根火柴，第2n?r?1次取
n2n?r到右边的合子。出现这种情况的概率也是p2?(1/2)C2 n?r(1/2)n2n?r 所求的概率是p1?p2?C2 n?r(1/2)
29. 设A,B,C是事件,证明:
1) P(BC|A)?P(B|A)P(C|AB). 2) 以下两个式子等价:
P(C|AB)?P(C|B), P(AC|B)?P(A|B)P(C|B).
P(BA)P(ABC)P(ABC)??P(BC|A).
P(A)P(AB)P(A)P(ABC)P(AB)P(BC)? P(B)P(B)P(B)(注:第一式称为Markov性,第二式称为条件独立) 证 1) P(B|A)P(C|AB)? 2) P(AC|B)?P(A|B)P(C|B)? ?
P(ABC)P(BC)??P(C|AB)?P(C|B).
P(AB)P(B)习题1-10