南昌大学 2005～2006学年第一学期期末试卷
一 . 填空 (每题2分，共10分)。 1. 设z?(1?i)(2?i)(3?i)(3?i)(2?i)，则z? .
2.设c为沿原点z=0到点z=1+i的直线段,则?2zdz? 2 .
c3. 函数f(z)=[1?z?11z?1???1(z?1)5]在点z=0处的留数为__________________
4. 若幂级数?cnzn在z?1?2i处收敛，则该级数在z=2处的敛散性为 .
n?05. 设幂级数?cnz的收敛半径为R，那么幂级数?(2n?1)cnzn的收敛半径为 .
n?0n?0?n?二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。 1． 复数z?1625-825i的辐角为 （
）
A．arctan1 B．-arctan1 C．π-arctan1 D．π+arctan1
222222． 方程Rez?1所表示的平面曲线为 （ ）
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 3．复数z?-3(cosA．-3(cosC．3(cos4545?5-isin45?5)的三角表示式为 （ ）
4545?＋isin45?) B．3(cos?－isin45?)
45?＋isin?) D．-3(cos?－isin?)
4．设z=cosi，则 （ ）
A．Imz=0 B．Rez=π C．|z|=0 D．argz=π 5．复数e3?i对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．设w=Ln(1-i),则Imw等于（ ） A．－?4 B．2k?－?4,k?0,?1,? C．
?4 D．2k???4,k?0,?1,?
7.设函数f(z)=u+iv在点z0处可导的充要条件是 ( ) A. u,v在点z0处有偏导数
C. u,v在点z0处满足柯西—黎曼方程
B. u,v在点z0处可微 D. u,v在点z0处可微，且满足柯西—黎曼方程
f(z)(z?a)fn?18．若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分?A．
等于 （ ）
2?in!f(a) C．2?if(n)c2?i(n?1)!(n?1)(a) B．
(a) D．
2?in!f(n)(a)
9．
设C为正向圆周｜z+1|=2,n为正整数，则积分?dz(z?i)n?1等于 （ ）
12?icA.1 B．2πi C．0 D．
?
10．设C为正向圆周|z|=2，则积分?zdz等于 （ ）
cA．0 B．2πi C．4πi D．8πi 11．设函数f(z)=??e?d?，则f（z）等于 （ ）
0zA．zez?ez?1 B．zez?ez?1 C．?zez?ez?1 D．zez?ez?1 12．设积分路线C为z=-1到z=1的上半单位圆周，则?z?1z2cdz等于（ ）
A．2??i B．2-?i C．-2-?i D．-2??i
?13．幂级数?n?1zn-1n!的收敛区域为（ ）
A．0?|z|??? B．|z|??? C．0?|z|?1 D．|z|?1
?3sin(z-?314． z?是函数f(z)=
)的（ ）
3z-?A.一阶极点 B．可去奇点 C．一阶零点 D．本性奇点 15．
z=-1是函数
cot?z(z?1)4的 （ ）
A.3级极点 B．4级极点 C．5级极点 D．6级极点 16．
（n?1)!n幂极数?z的收敛半径为（ ）
(2n)!n?1Q(z)z(z-1)?A.0 B．1 C．2 D．＋? 17．
设Q（z）在点z=0处解析，f(z)?,则Res[f(z),0]等于 （ ）
A．Q（0） B．－Q（0） C．Q′（0） D．－Q′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ） A．?(z3?2z?3)dz,其中C为正向圆周｜cz-1|?2 C．?zsinzdz,其中C为正向圆周｜cz|?1
B．?ezdz,其中C为正向圆周｜cz|?5 D．?coszz-1dz,其中C为正向圆周｜cz|?2
?19.级数?ein是 ( )
n?1A. 收敛 B. 发散 C. 绝对收敛
? D. 条件收敛
20.在|z|<1内解析且在（-1，1）内具有展开式?(?1)nxn的函数只能是（ ）
n?0A.
11?z B.
11?z2 C.
11?z D.
11?z2
三．计算及应用题（每题10分，共50分）。 1．求函数f(z)?1z2?5z?6在z=1处的泰勒展开式及g(z)?1(z?1)(z?2)在2?|z|???
内展开为洛朗级数. 2．设f(z)????2cos???3??zez2d?，z?2;求f(z)及f??(?2).
3．.给定积分?Cz(z?2)dz.试就下列不同情形，写出此积分的值：
(1)C为正向圆周|z|=1， (2)C为正向圆周|z-2|=1, (3)C为正向圆周|z|=3.
4．已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=x3-3xy2,并且f(i)=0,求f(z). 5. 讨论f(z)?xy2?ixy的可导性与解析性.
2南昌大学 2006～2007学年第一学期期末考试试卷
一、 填空题(每空 3 分，共15 分) 1、复数z2、i2?i?4?48i的模|z|＝_____________________。
ez-3iz=________________。
3、设C为正向圆周|z|=2，则?c?2dz=___________________________。
4、Z=1是f(z)?z?1的____________级零点。
15、设f(z)?e，则Res[f(z),0]?________________。
Z二、单项选择题（每题 3 分，共15 分） 1、当x,y等于什么实数时，等式
x?1?i(y?3)5?3i?1?i成立（ ）
（A）x?0,y?4 (B)x?2,y?11 （C） x?1,y?11 (D) x?2,y?4 2、函数??1z把Z平面上的曲线x?y?4映射成为?平面上的（ ）
（B）一个过原点的圆
222（A）一条过原点的直线u?v（C）上半平面Im(?)?0 （D）方程为u?v?214的圆
3、设C为正向圆周：|z|?3，则?c1z(z?1)dz的值为（ ）
（A）0 （B）2?i （C）-1 (D) -2?i
4、z?0是
sinzz的（ ）
（A）可去奇点 （B）一级极点 （C）本性奇点 (D) 零点 5、下列函数处处解析的是（ ）
（A）f(z)?x?iy （B）f(z)?2x?3yi（C）f(z)?xy2233
?ixy (D) f(z)?e(cosy?isiny)
2x三、（10分）设z=?12i?i1?i,求Re(z),Im(z),zz
四、（10分）将复数Z?1?cos??isin?五、（10分）设函数f(z)?x?axy?by复平面内处处解析？
22(0????)化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。
?i(cx?dxy?y).问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在
22六、（10分）证明u(x,y)?y?3xy为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数
32f(z)?u?iv。
七、（12分）计算下面积分的值，其中C为正向圆周|z|=3 （1）I??2z-1z?2z2cdz （2）I??c1在2?|z|???cos?z(z-1)5dz
八、（10分）将f(z)?(z?1)(z?2)内展开为洛朗级数
九、（8分）用留数计算实积分I??????21(x?1)2dx.
南昌大学 2007～2008学年第一学期期末考试试卷
一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1．（1＋i）3＋（1－i）3＝ ____________
2.e
1?i?2= 。
3．?czzdz＝ 其中C为正向圆周：z＝4。
4．
?z?1sinzz2n。 dz＝ （其中n为正整数）
?zez?,1?= __________ 5.Res?2?z?1?二、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1．下列函数极限存在的是 （ ）
A．lim
z?0Re(z)z B. limzzz?0 C. limzz?2z?z?2z?1142z?0 D. lim12iz?0(
zz－
zz)
2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=A．W=Z B.W=Z2 C.W=
1Z的映射函数f(z)为( )
D.W=Z
3．下列命题正确的是 （ ）
A．如果f(z)在z0连续，那么f'(z0)存在 B．如果f'(z0)存在，那么f(z)在z0解析 C．如果f(z)在z0解析，那么f'(z0)存在 D．如果z0是f(z)的奇点，那么f(z)在z0不可导
4．下列级数绝对收敛的是 （ ）
?A．?n?1in?n B.?n?2in?lnn C.?n?0(6?5i)8nn?(?1)n1?n D.??n2n?1???i? ?5．?是f(z)=
zz?1的 （ ）
A．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点 三、计算题(每题10 分，共 70 分)
1.已知u?2(x?1)y为调和函数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv。 2．设f(z)=
???23?2?2??1??z1z?z?22d? (1)试求f(1)；(2)当z?2时，试求f(z)。
3. 求函数f(z)=4. 计算积分?c??在圆环域3?z?1???内的洛朗展开式。 dz，C为正向圆周：z＝5。
1z(z?1)(z?4)45. 计算
???1?xxsinx2dx。
6. 求?Rezdz+?Rezdz，其中?1和?2的起点和终点相同，都是0和1＋i，但路径不同，?1是连接这两
?1?2点的直线段，?2是经过z=1的折线段。
???7. 设级数?Cn收敛，而?Cn发散，证明?Cnzn的收敛半径为1。
n?0n?0n?0