南昌大学 2008～2009学年第一学期期末考试试卷
一、填空题(每空 3 分，共 15 分)
1．设z?(1?i)100，则Imz＝ 。 2.方程lnz=
?3i的解为 。
1z3．设C为正向圆周|z|=1，则?(c?z)dz＝ 。
?4．幂级数?n?12zn2nn-1的收敛半径为 。
25. z??为函数3?2z?zz2的奇点类型是 。
二．选择题(每题 3 分，共 15 分) 1．复数z?1621-821i的辐角为 （
）
A.arctan1 B．-arctan1 C．π-arctan1 D．π+arctan1
22222.设z=cosi，则（ ）
A．Imz=0 B．Rez=π C．|z|=0 D．argz=π 3．设函数f(z)=??ed?，则f（z）等于（ ）
0z?A．zez?ez?1 B．zez?ez?1 C．?zez?ez?1 D．zez?ez?1 4．设Q（z）在点z=0处解析，f(z)?Q(z)z(z-1),则Res[f(z),0]等于（ ）
A．Q（0） B．－Q（0） C．Q′（0） D．－Q′（0）
sinz5．z?0是函数f(z)=
1?cosz的 （ ）
A.一级极点 B．可去奇点 C．一级零点 D．本性奇点 三．计算题(每题10 分，共 70 分)
1. 求u?x?2xy-y的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。 2．求?c221(z?1)n其中C为不经过z=-1的任意简单闭曲线，n为整数。
z-?23. 试求函数f(z)=?e0d?在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。
14. 利用留数计算积分?cz(z?3)(z?1)4dz，其中C为正向圆周： z＝4.
5. 设f(z)????2?3??z1d?，其中z?2，求f??(?2).
6. 将f(z)?(2?z)2在2?|z|???内展开为洛朗级数。
7.若复数z1,z2,z3的模相等且z1+z2+z3=0.证明: z1,z2,z3构成等边三角形的三个顶点。
07-08复变答案
一． 1． -4 2. ?ie 3. 8?i 4. (?1)n?1三． 1.f?(z)?f(z)??iz22?i(2n?1)! 5.
e2 二．1．C 2.C 3.C 4.C 5.A
?u?x?i?u?y?2y?i(2x?2)??2i(x?iy)?2i??2iz?2i
?2iz?C 又f(2)??i?C??i 则f(z)??iz2?2iz?i
22.（1）f(1)????13??2??1??1d??2?i(3?2?2??1)??1?4?i
（2）z?2时 f(z)?0 z?2时 f(z)?2?i(3z2?2z?1) 3. f(z)?11z?z?22?1(z?2)(z?1)?1?11?????3?z?1z?2? 3?z?1???时，
n3z?1?13?11??????????? f(z)??3z?23?(z?1)z?1z?1z?13z?1???n?0?1?????z?1?1111????1?n?1?n?1?3n?2??z?1??n
?4.
z?51z(z?1)(z?4)4dz
????????111?2?i??Res?,0?Res,?1?Res,4??????444z(z?1)(z?4)z(z?1)(z?4)z(z?1)(z?4)????????
??1??2?i?Res?,??4?z(z?1)(z?4)?????11?2?i?Res??2,0?1141?(?1)(?4)z???z?zz???4??z?2?i?Res?,0? 4(1?z)(1?4z)??（z=0是可去奇点） ＝0 5.
???xeix?xsinxdx?Imdx???2?1?x21?x????????Im?2?i?Re??zeiz??s?,i??21?z?????7. ??Cn收敛 ? ?Cnzn在z=1上收敛，由Abel定理可知 n?0?nn?0? z?1时，?Cnz必绝对收敛，则可知?Cnzn的收敛半径R?1 n?1?nn?0? 又若R?1，则?Cnz在z?1上必绝对收敛，那么?Cnzn在n?0??n?1iz?ze??Im?2?i?lim?z?i?z?i?z?1上收敛，即??n?0Cn收敛 这与已知?Cn发散矛盾。所以n?0?ie???i???Im?2?i??Im? ???2i?e?e???1?Cn?0nzn的收敛半径R=1。 6. ?1:z?t?it 0?t?1； ?2:C1?C2 其中 C1:z?t，C2:1?ti 0?t?1 1
32i ?Rezdz??1?t(1?i)dt?01211(1?i) ；?Rezdz??2?tdt?0?idt?012?i 则?Rezdz+?Rezdz=1+?1?2