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2012届全国硕士研究生入学统一考试 （公共课标准课程强化阶段测试卷）
数一答案
答题注意事项
1．本试卷考试时间180分钟，满分150分。
2．试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对。
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 1
一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1 D 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D (1) 设数列?xn?与?yn?满足limxnyn?0，则下列说法正确的是 （ ）
n??(A) 若?xn?发散，则?yn?必发散． (B) 若?xn?无界，则?yn?必有界． (C) 若?x?1?n?有界，则?yn?必为无穷小． (D) 若??x?为无穷小，则?yn?必为无穷小．n?【答案】D.
【解析】举反例：若取yn?0，则可排除A；若取xn?0，则?yn?可为任意数列，可排除C； 取x?n,n为奇数n???0,n为偶数,y?0,n为奇数n??，则可排除B；故正确答案为D. ?n,n为偶数(2) 设f?x?为连续函数，且F?x???lnx1f?t?dt，则F??x?为 x(A)
1xf?lnx??1?1?x2f??x??． (B) f?lnx??f??1??x??． (C)
11xf?lnx???1?x2f??x??． (D) f?lnx??f??1??x??． 【答案】A.
【解析】F??x???lnx????11f?t?dt??f?lnx??f??1???x?????1?x??1xf?lnx??1?1??2?x?x?x2f??x??.
(3) 函数u?ln?x2?y2?z2?在点M?1,2,?2?处的梯度graduM为 (A) ?1,2,?2?． (B) 29?1,2,?2?． (C) 19?1,2,?2?． (D) 29?1,?2,2?．
【答案】B. 【解析】因为
?u2x??x?u2y?u2zx2?y2?z2,?y?x2?y2?z2,?z?x2?y2?z2,于是有 gradu2442M?9i?9j?9k?9?1,2,?2?.
(4) 微分方程y?4??2y???y?0的通解是
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 （ ）
（ ）
（ ） 2
(A) C1ex?C2x?C3e?x?C4. (B) C1ex?C2sinx?C3e?x?C4cosx. (C) ?C1?C2x?ex??C3?C4x?e?x. (D) ?C1?C2x?sinx??C3?C4x?cosx. 【答案】C.
【解析】特征方程：r?2r?1?r?142?2?2?0，特征根r1?r2?1,r3?r4??1，故选项C是正确的.
(5) 设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B?E?AB,C?A?CA，则B?C为 （ ） (A) E. (B) ?E. (C) A． (D) ?A． 【答案】A.
B?BA.【解析】由B?E?AB，知?E?A?可见E?A与B互为逆矩阵，于是有B?E?A??E，故AB?E，
从而有B?C?E?AB?A?CA?E?BA?A?CA?E??A?，即，而B?CA?B?C??E?A???E?AE?A可逆，故B?C?E，应选A.
(6) 已知三阶矩阵A的特征值为1,?2,2，则A?2A的正特征值的个数为 （ ） (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
【答案】C.
【解析】因为A的特征值为1,?2,2，则A?2A的特征值为
2212?2?1?3,??2??2???2??0,22?2?2?8,
显然有两个正特征值，故选C.
(7) 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1为 （ ）
(A) 0. (B) 【答案】B.
【解析】因为X与Y相互独立，所以
11111P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1??P?Y?1???0dx??0dy?.
3392??121. (C) ． (D) . 993(8) 若X和Y满足D?X?Y??D?X?Y?，且D?X??0,D?Y ??0，则必有 （ ）
(A) X与Y相互独立． (B) D?X??D?Y??0． (C) D?XY??D?X?D?Y?． (D) X和Y不相关. 【答案】D. 【解析】根据题设有
D?X?Y??D?X?Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y?，
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 3
因此Cov?X,Y??0，故?XY?0，X与Y不相关.
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）
9 10 x211 12 13 14 y?etan y?21x? 35[?1,1) 8??a?b?c?R3 3x?0 ?1,3? (9) 微分方程y?sinx?ylny满足初始条件yx???e的特解是 .
2【答案】y?etanx2.
tanx2【解析】分离变量后积分得通解y?Ce，再由yx???e得C?1，则特解为y?e2tanx2.
(10) 曲线?5y?2???2x?1?在点?0,??处的切线方程为 . 【答案】y?35??1?5?21x?. 3524【解析】由原方程得3?5y?2??5y??5?2x?1??2，将x?0,y??12代入其中得y??，故所求切线方程为53y?21x?. 35(11) 幂级数
?n?0?xn的收敛域是 . n?1【答案】[?1,1).
???1??1an?11n?1,lim当x?1时?发散，当x??1时?收?lim?1,R?1，
n???n?1n?1n???ann?1n?2n?0n?0n【解析】an?敛，故收敛域为[?1,1).
2(12) 设?是?:?x?a???y?b???z?c??R的外侧，则I?222????x2dydz?y2dzdx?z2dxdy? . 【答案】??a?b?c?R.
383【解析】由高斯公式知I?2????x?y?z?dv?2?x?y?z?V?V为?的体积?
?48=2?a?b?c???R3???a?b?c?R3.
33?001???(13) 已知三阶矩阵A??x10?有三个线性无关的特征向量，则参数x? .
?100???【答案】x?0.
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 4
?【解析】?E?A=?x0?10????1????1?，由A有三个线性无关的特征向量知对于??1，A有两
2??10?1?个线性无关的特征向量，所以r?E?A??1.
?10?1??10?1????? E?A???x00???00?x?，故x?0.
??101??000??????11,?3,x??0,??2?2??3,6,k使得P?X?k(14) 设随机变量X的概率密度为f?x???,x?若??，则k的取值范围
3?9?0,其他.??是 . 【答案】?1,3?. 【解析】由P?X?k?????kf?x?dx，易知
??22dx?； ?k393??3622当k??1,3?时，P?X?k???f?x?dx??0dx??dx?；
kk393622当k??3,???时，P?X?k???dx?；
k932故要使得P?X?k??，则k的取值范围是?1,3?.
3当k????,1?时，P?X?k??f?x?dx??6三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分9分)
1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.
3??????【解析】方法1：原式?limx?0e?2?cosx?xln??3??x3?2?cosx?ln???13?? ……（3分）?lim 2x?0x1???sinx?ln?2?cosx??ln3?lim ……（6分） ?lim2?cosx2x?0x?0x2x11sinx1??lim???. ……（9分）
2x?02?cosxx6针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 5