?2?cosx?xln??3??方法2：原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ……（3分）?lim 2x?0x?cosx?1?ln?1??3?? ……（6分）
?lim 2x?0x?limcosx?11??. ……（9分）
2x?03x6(16) (本题满分10分)
设f?x?在???,???内连续，且F?x???x0?x?2t?f?t?dt.证明：
(I) 若f?x?为偶函数，则F?x?也是偶函数； (II) 若f?x?单调递减，则F?x?单调递增. 【解析】(I)因为f??x??f?x?，所以
F??x????x0??x?2t?f?t?dt令t??u?x0??x?2u?f??u???1?du ??xx0?x?2u?f?u?du??0?x?2t?f?t?dt?F?x?，
可见，F?x?是偶函数.
(II) F??x???xx???x?x?0f?t?dt?2?0tf?t?dt????0f?t?dt?xf?x??2xf?x? ??x0f?t?dt?xf?x???x0??f?t??f?x???dt， 因为f?x?单调递减，所以
当0?t?x时，f?t??f?x??0,?x0??f?t??f?x???dt?0，
当x?t?0时，f?t??f?x??0,?x??f?t??f?x??00?dt???x??f?t??f?x???dt?0， 即F??x??0恒成立，所以F?x?单调递增. (17) (本题满分11分)
当x2?y2?1时，求u?xy3的最大值与最小值.
【解析】设F?x,y,???xy3???x2?y2?1?， 针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 ……（2分）
……（3分） ……（5分） ……（7分） ……（9分）
……（10分） ……（1分）
6
?y3?2?x?0?由Fx??0,Fy??0,F???0得 ?3xy2?2?y?0， ……（3分）
?x2?y2?1?解得 ??1,0?,???13??13?,,?,?. ……（5分） ??22????2?2????33333,?3,?3,?3， ……（7分） 16161616而u?xy3与上述六点的相应函数值依次为0,0,故所求最大值为u??13??13?3,?u?,??3， ……（9分） ???22???2?2?16????13??13?3?u,???3. ……（11分）最小值为u??, ????22??2?216????(18) (本题满分9分)
计算
??x??y?1?L2x2?y22ds，其中L:x2?y2??2y.
【解析】L:x2?y2??2y，其参数方程为?于是，原式??x?cost ,0?t?2?， ……（2分）
y??1?sint???Lx?yds??2?222?0（5分） 2?1?sint?dt ……
?2?0tt（7分） sin?cosdt ……
22?22?sinu?cosudu?8. ……（9分）
0?(19) (本题满分11分)
??1,x?1,设f?x?是以2?为周期的函数且在一个周期内的表达式为f?x???将其展开为傅里叶级数，
??0,1?x??.并求级数
sinn的和. ?nn?12?【解析】因为f?x?为偶函数，所以 bn?0,a0???10dx?2?， ……（2分）
an?因此 f?x??2??10cosnxdx?2sinn ?n?1,2,???? ……（5分）
n?1??sinn?cosnx?n?1n22?（7分） ?x?2k??1;k?0,?1,???? ……
令x?0，得 1?1????n?1?sinn， ……（9分） n针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 7
所以
sinn??1. ……（11分） ??n2n?1?(20) (本题满分11分)
?x1?x2?kx3?4?k为何值时，线性方程组??x1?kx2?x3?k2有唯一解，无解，有无穷多解？有解时，求出其全部解.
?x?x?2x??43?121【解析】设方程组的系数矩阵为A，则A=?11k1k1??k?1??4?k?， ……（2分）
?12当A?0，即k??1或k?4时，方程组有唯一解，由克莱姆法则得
k2?2k?k3?2k2?4k?16?2k， ……（5分） x1?,x2?,x3?k?1k?1?k?1??4?k??x1?x2?x3?4,?当k??1时，方程组为??x1?x2?x3?1,
?x?x?2x??4.3?12?11?14??1???A???1?111???0?1?12?4??0???10?2?1034??1??5???0??8???0120?1?304??8? 1??因为r?A??2?rA?3，所以方程组无解. ……（8分）
???x1?x2?4x3?4,?当k?4时，方程组为??x1?4x2?x3?16,
?x?x?2x??4.3?12?11?A???14?1?1?4124??1??16???0??4???04??1030????5520???0114?
???2?2?8???0000?14?x1??3x3rA?rA?2因为??，所以方程组有无穷多解，于是?，令x3?c，则得通解为
x??x?43?2????3c??0???3???????x??4?c?，即x??4??c??1?，其中c为任意常数. ……（11分）
?c??0??1???????(21) (本题满分11分)
已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)求参数a及所用的正交变换矩阵.
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 8
222，
经正交变换化为标准形f?y1?2y2?5y3，
222 ?200???【解析】二次型f所对应的矩阵为A??03a?，
?0a3?????2|?E?A|?0000?a?(??2)(?2?6??9?a2)?0. ??3??3?a22，那么标准形中平方项的系数1，2，5就是A的特征值. …（2分） f经正交变换化为标准形f?y12?2y2?5y32把??1代入特征方程，得a?4?0?a??2.因a?0知a?2.这时，
?200???A??032?. ……（3分）
?023???对于?1?1，解方程组(E?A)x?0，由于
??100??100?????E?A??0?2?2???011?，
?0?2?2??000?????故?1?(0,1,?1)T. ……（5分）
对于?2?2，解方程组(2E?A)x?0，由于
?000??012??012???????2E?A??0?1?2???003???001?，
?0?2?1??000??000???????故?2?(1,0,0)T. ……（7分）
对于?3?5，解方程组(5E?A)x?0，由于
?300??100?????5E?A??02?2???01?1?，
?0?22??000?????故?3?(0,1,1)T. ……（9分）
由于?1,?2,?3为属于不同特征值的特征向量，故已经相互正交，只需要单位化，得
?0??1??0?1??1?????1?1,??0,??1?. 23?????2??2???0??1?????1?针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 9
故所用的正交变换矩阵为
??0??1Q?(?1,?2,?3)???2?1??2?
(22)（本题满分11分）
设二维随机变量?X,Y?的概率密度为f?x,y???100?0??1?. ……（11分） ?2?1??2??1,0?x?1,0?y?2x,
?0,其他. 求：(I) ?X,Y?的边缘概率密度fX?x?,fY?y?；
(II) Z?2X?Y的概率密度fZ?z?.
【解析】(I) 当0?x?1时，fX?x??当x?0或x?1时，fX?x??0；即
?????f?x,y?dy??dy?2x；
02x?2x,0?x?1, ……（3分） fX?x???0,其他.?当0?y?2时，fY?y???????f?x,y?dx??ydx?1?21y； 2?y?1?,0?y?2,当y?0或y?2时，fY?y??0；即fY?y??? ……（6分） 2??0,其他.(II) 当z?0时， FZ?z??0；当z?2时， FZ?z??1； ……（7分） 当0?z?2时， FZ?z??P?2X?Y?z??2x?y?z??f?x,y?dxdy
12x?z1z2??1?2??zdx? ……（10分） dy?z?，
0242?z?1?,0?z?2,所以 fZ?z???2 ……（11分）
??0,其他.(23) (本题满分11分)
?6x????x?,????x??,设总体X的概率密度为f?x????3 X1,???,Xn是来自总体X的简单随机样本.
?其他.???0,?????针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 10
(I) 求?的矩估计量??；
?. (II) 求??的方差D?【解析】(I) E?X?????????xf?x?dx???6x20?3???x?dx??2， ……（2分）
?1n??2X. ……（5分）记X??Xi，令?X，得到?的矩估计量 ?
ni?122(II) 由于 E?X2?????2??xf?x?dx???6x36?0?3???x?dx?20， D?X??E?X2???2?E?X????6?2???2?220???2???20, 所以???2X的方差 D?????D?2X??4D?X??4nD?X???25n. 针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨 ……（7分） ……
（9分） ……（11分） 11