微积分复习（三）及答案
一 选择题
1 设f(x)在区间[a, b]上连续，则在(a, b)内f(x)必有：（ B ） （A）导函数 （B）原函数
（C）极值 （D）最大值和最小值 2 如果?f(x)dx?F(x)?c,则?f(cotx)dx? （ B ）
sin2x（A）F(cotx)?c （B）?F(cotx)?c （C）F(sinx)?c （D）?F(sinx)?c 3 若
?e1b1f(lnx)dx??f(u)du， 则（ A ）
ax（A）a?0,b?1 （B）a?0,b?e （C）a?1,b?0 （D）a?e,b?1
x41x4f(x)dx?_____ D f(t)dt?， 则?02x4 若
?0（A）2 （B）4
（C）8 （D）16 5 若设f(x)在区间[a, b]上连续，则（A）（C）
?baf(x)dx?______10B
??100f[a?(b?a)t]dt （B）(b?a)?f[a?(b?a)t]dt f[a?(b?a)t]dt极值 （D）(b?a)?f[a?(b?a)t]dt
?10?16 设F(x)??2x3?t2dt，则F'(1)?_____ D
（A）7?2 （B）2?7 （C）2 （D）?2
7 下列函数对中是同一函数的原函数的有 A
121sinx与?cos2x （B）lnlnx与ln2x 24x12xx2（C）e与e （D）tan与?cotx?
2sinx（A）8 如果?f(x)dx?x?c,则?xf(1?x)dx?_______ D
223（A）3(1?x)?c （B）?3(1?x)?c
3232 1
（C）1(1?31x)?c （D）?(1?x)?c
332329 以下广义积分中收敛的是（ ） C （A）
111dt （B）?0t?0t2dt 1（C）
?101lnt1dt dt （D）?0tt10 设lnf(x)?cosx,xf'(x)?f(x)dx?_________ A
（A）xcosx?sinx?c （B）xsinx?cosx?c （C）x(sinx?cosx)?c （D）xsinx?c 11 设方程（A）??y0etdt??sintdt?0确定y为x的函数，则
x0dy?______ A dxsinxcosx? （B） yyee（C）0 （D）不存在
12 若f(x)??f(?x)，在(0,??)内f?(x)?0，f??(x)?0，则f(x)在(??,0)内（C） (A）f?(x)?0，f??(x)?0 （B）f?(x)?0，f??(x)?0 （C) f?(x)?0，f??(x)?0 (D) f?(x)?0，f??(x)?0 二 填空题
1 2 3
(2?sinx)dx??11?x2?______ ?
1?2?0?2sinxdx?_____ 4
dx??e?11?x?______ ?1
x4 若f'(e)?1?x，则f(x)?______ xlnx?c
x3cosxdx?______ 0 5 ??1/21?x41/26 limn??0x?1x2ndx?______0 1?x7
?0[df(x)]dx?____f(x)?f(0) dx2
8
x?x??21?x2dx?____ ln5
2e??19 曲线y?esinx(x?0)与x轴所围成图形的面积为____________ ?2(e?1)?x10 曲线y?x2与直线y?x和y?2x轴所围成图形的面积为____________
三 计算题 1．求ln(x?解：
222ln(x?x?1)dx?xln(x?x?1)?xdln(x?x?1)??7 6?x2?1)dx
?xln(x?x?1)??2xx?12dx?xln(x?x?1)?x?1?c22
2．求
?3?4max(1,x2,x3)dx
解：
当?4?x??1时，max(1,x2,x3)?x当-1?x?1时，max(1,x2,x3)?1 当1?x?3时，max(1,x2,x3)?x32
?
3?4max(1,x2,x3)dx?113?4?11??x2dx??1dx??x3dx?21?2?20?433．求arctan 解：
?xdx
?n??arctanxdx?xarctax
x11?x2xd?x
令x?t,dx?2tdttdx?21?tx?arctax?nc2原式?xarctanx???xarctanx?
3
4．f'(sin2x)?cos2x?tan2x,解：
0?x?1 求f(x)
设sin2x?tsin2xf'(sinx)?1?2sinx?1?sin2x t1f'(t)?1?2t???2t1?t1?t1f(x)??(?2x)dx??ln1?x?x2,1?x22
0?x?125 设f(x)是[0,?/2]上的连续函数，且f(x)?xcosx?解：
??/20f(t)dt，求f(x)（＊）
设??/20f(t)dt?a,f(x)?x2cosx?a(tcost?a)dt???/22a???/2?/200tdsint?2?2
a
/2?[t2sint]??2?00tsintdt??2a
??24?2??2a?2?8 ∴ a?
2(2??) 6 计算解：
3/2?dxx?x21/2
?3/2dxx?x21/2??dx1dxx?x2??11/2??3/2dx1x2?x??
13/21/211()2?(x?)222dx11(x?)2?()222
12123/2?arcsin[2(x?1/2)]1?[lnx?1/2?(x?)?()]11/222?
4
?2?ln[1?3?]?ln2??ln[2?3]22
7 设f(2x?1)?xex，求解：
?53f(t)dt
t?2x?1,?
53222xf(t)dt?2?1xexdx?2[xex]1?2?1edx
?2e28 由曲线xy?a (a?0)与直线x?a, x?2a 及y?0围成一平面图形。 (a) 求此图形绕(b) 求此图形绕
x轴旋转所成旋转体体积
y轴旋转所成旋转体体积
2aa212a12V?解：(a) a??()dx??a(?)a??a
axx22aa2 (b) Vb?2??xdx?2?a
ax
9 求连续函数f(x)，使它满足：
?10f(tx)dt?f(x)?xsinx,f(0)?0.
1xf(u)du ?0x解：设u?tx，则t=0时，u=0；t=1时，u=x
∴f(x)?xsinx? ∴
?10f(tx)dt??x0f(u)du?xf(x)?x2sinx
2两边对x求导: f(x)?f(x)?xf'(x)?2xsinx?xcosx 得：f'(x)??(2sinx?xcosx) 两边在[0,x]积分，
f(x)?f(0)???(2sinx?xcosx)dx??(xsinx?cosx?1)?cosx?xsinx?1
0x ∴f(x)?cosx?xsinx?1
10 设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)?0，x?[a,b]。
F(x)??f(t)dt??axxb1dt,x?[a,b] f(t)证明：方程F(x)?0在区间[a,b]上有且只有一个根 证明：
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