当x?(a,b),F'(x)?f(x)?F(a)??f(t)dt??aaabbF(b)??f(t)dt??abb1?0,F(x)在(a,b)连续且单调增。f(x)a11 dt??dt?0bf(t)f(t)b1dt??f(t)dt?0af(t)故方程F(x)?0在区间[a,b]上有且只有一个根
11 设F(x)??x20e?tdt，求：
2(i) F(x)的极值。
(ii) 曲线y?F(x)的拐点的横坐标。 (iii)
?2?3x2F'(x)dx之值。
?x4解：(i) F'(x)?2xe4令F'(x)?2xe?x4?0，得x?0，
F''(x)?2e?x?2xe?x?(?4x3)?e?x(2?8x4)
F''(0)?0得x?0为极小值点，F(0)?0为极小值。
(ii)令F''(x)?e(iii)
12 设某工厂生产某产品的固定成本为100万元，生产x百台的边际成本为C?(x)?2?x万元，边际收益为R?(x)?200?4x万元。求：
（1） 生产量为多少百台时，总利润最大？
（2） 在总利润最大的基础上再生产10百台，总利润减少多少？
?x444(2?8x4)?0,得x??23?x422，可以判断出x??为拐点的横坐标。 22?2?3xF'(x)dx??2xe?321?x421?16?81dx??e|?3?(e?e)
22?100?C(x)?13 已知生产x个单位的某种产品，边际单位成本????2，产量为1个单位时，
?x?x.x，求 成本为102，又知边际收入为R?(x)?12?01 (1) 利润函数；
(2) 利润最大时的产量；
6
(3) 利润最大时的平均价格。
解 (1) 依题
?x?C(t)?xC(x)?C(1)???dt?102???100dt?2?100 ?211xxt?t?所以C(x)?2x?100. 又
xxR(x)?R(0)??R?(t)dt??(12?0.1t)dt?12x?0.05x2.
00因此L(x)?R(x)?C(x)??0.05x2?10x?100
(2) 令L?(x)??0.1x?10?0，得x?100，且L??(100)??0.1?0，所以利润最大时的产量为x?100.
(3) 利润最大时的平均价格
R(x)xx?100212?100?0.05?100??7
100 7