章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 12
1．抛物线y＝－x的准线方程是________．
8
【解析】 把抛物线方程化为标准形式得x＝－8y，所以抛物线的准线方程为y＝2. 【答案】 y＝2
2
x2y2
2．如果方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
aa＋6
【解析】 焦点在x轴上，则标准方程中a>a＋6，解得a>3或a<－2.又a>0，a＋6>0，所以a>3或－6
【答案】 a>3或－6
3．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)＋y＝r(r>0)相切，则r等于________．
632222
【解析】 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，与圆(x－3)＋y＝r(r>0)相
632切，得r＝3.
【答案】
3
2
2
x2y2
222
x2y2
x2y2x2y2
4．若F1，F2是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1的共同的左、右焦点，点
ab259P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________. 【导
学号：09390068】
【解析】 不妨设PF1＞PF2，则PF1＝F1F2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知
?PF1－PF2＝2a，?
???PF1＋PF2＝10，
2
2
?8－PF2＝2a，?
即???8＋PF2＝10，
2
得2a＝6，a＝3.
7
x. 3
又a＋b＝16，所以b＝7，故双曲线的渐近线方程为y＝±【答案】 y＝±
2
7x 3
5．设抛物线y＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
【解析】 易知抛物线y＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过
??y＝8x，
点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，联立?
?y＝k?x＋2??
2
2
?
k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k2－
1
8)－16k＝－64k＋64≥0，可解得－1≤k≤1，且k≠0，综上可知，－1≤k≤1.
【答案】 －1,1]
242
x2y2
6．(2015·天津高考改编)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，
ab且双曲线的一个焦点在抛物线y＝47x的准线上，则双曲线的方程为______________．
【解析】 由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)，可得3＝×2.①
由双曲线的焦点(－a＋b，0)在抛物线y＝47x的准线x＝－7上，可得a＋b＝7.②
由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
43【答案】
222
222
babax2y2
x2y2
4
－＝1 3
7．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y＝1与C1的一个交点，则
623△PF1F2的面积为________．
【解析】 由题意知，|F1F2|＝26－2＝4，设P点坐标为(x，y)．
x2y2x2
2
??6＋2＝1，
由?x??3－y＝1，
2
2
x2y2
2
32
?x＝±，?2得?
2
y＝±.??2
112
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝2.
222【答案】
2
x2y2
8．已知抛物线y＝2px(p>0)与双曲线2－2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，
ab且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．
b2
【解析】 由抛物线的定义知，AF＝2c，∴＝2c.
a∴c－a＝2ac， ∴e－2e－1＝0. 又∵e>1， ∴e＝2＋1. 【答案】
2＋1
2
22
2
9．直线l过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是________．
2
【解析】 如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M，N，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝AB＝8.又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x＝－，所以4＝2＋，即p＝4，所以抛物线的
22方程是y＝8x.
【答案】 y＝8x
2
2
pp?1?2
10．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，点P?1，?在抛物线上，过点P作PQ垂直抛
?4?
物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________．
1?1?2
【解析】 由点P?1，?在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x＝4y，点F(0,1)，
8?4?151?5?
准线为y＝－1，∴FM＝2，PQ＝1＋＝，MQ＝1，则直角梯形PQMF的面积为×?＋2?×1
442?4?13
＝. 8
【答案】
13 8
x2y2
11．已知椭圆方程＋＝1，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点
43ab是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．
x2y2
x2y2
【解析】 因为双曲线 2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦
ab点，所以c＝2，a＝1，所以双曲线的离心率为2.
【答案】 2
12．已知长为1＋2的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一2→→
点，且AP＝PB，则点P的轨迹C的方程为________．
2
2→→→→
【解析】 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，AP＝PB，又AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，
2
y0－y)，所以x－x0＝－20
20
222??
x，y＝(y0－y)，得x0＝?1＋?x，y0＝(1＋2)y，因为|AB|222??
2
2
x2??2??222
＝1＋2，即x＋y＝(1＋2)，所以??1＋?x?＋(1＋2)y]＝(1＋2)，化简得＋y22????
＝1.
3
∴点P的轨迹方程为＋y＝1.
2【答案】
x2
2
x2
2
＋y＝1
2
2
13．过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若AF＝3，则BF＝________. 【解析】 由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)．又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y＝4x，得y＝8，由图知，y＝22， ∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．
2
2
?y＝22?x－1?，由?2
?y＝4x，
1??x＝2，解得?
??y＝－2
?x＝2，
或?
?y＝22.
1??知点B的坐标为?，－2?， ?2?13
∴BF＝－(－1)＝.
223【答案】
2
x2y2322
14．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x－y＝1的渐近线与椭圆
ab2C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．
【解析】 因为椭圆的离心率为
2
2
3c323222122
，所以e＝＝，c＝a＝a－b，所以b＝a，2a244
x2x2x2x25x2
即a＝4b.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得2＋2＝1，即2＋2＝2＝1，
ab4bb4b42222
所以x＝b，x＝±b，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为
55522162?2b，2b?22
??，所以四边形的面积为4×b×b＝5b＝16，所以b＝5，a＝20，所以椭
5??555圆方程为＋＝1. 205
【答案】
＋＝1 205
x2y2
x2y2
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－10)．
(1)求双曲线方程；
4
→→
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求MF1·MF2. 【解】 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x， ∴设双曲线方程为x－y＝λ(λ≠0)．
把(4，－10)代入双曲线方程得4－(－10)＝λ， ∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x－y＝6. (2)由(1)知双曲线方程为x－y＝6，
∴双曲线的焦点为F1(－23，0)，F2(23，0)． ∵点M在双曲线上，∴3－m＝6，∴m＝3. →→
∴MF1·MF2＝(－23－3，－m)·(23－3，－m) ＝(－3)－(23)＋m＝－3＋3＝0.
16．(本小题满分14分)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D(2，－1)，求直线l的一般式方程. 【导学号：09390069】
【解】 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： ?x－1?＋y－x＝1(x＞0)，化简得y＝4x(x＞0)． 即曲线C的方程为y＝4x(x＞0)．
??y1＝4x1， ①
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2
?y2＝4x2， ②?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，易知l的斜率k存在， 故(y1＋y2)
y1－y2
＝4，即－2k＝4，所以k＝－2，故l的一般式方程为2x＋y－3＝0. x1－x2
17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P(1,2)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
图1
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
5