【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y＝2px(p>0)． ∵点P(1,2)在抛物线上，∴2＝2p×1，解得p＝2. 故所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， ∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
2
2
2
y1－2y2－2
(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)． x1－1x1－1
y21＝4x1，① y22＝4x2，②
∴
y2－2
＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)， 1212y1－1y2－144
y1－2
∴y1＋y2＝－4. ②－①，得kAB＝
y2－y14
＝＝－1(x1≠x2)． x2－x1y1＋y2
x2y2
18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1的一个
ab?3?焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P?，6?，求?2?
抛物线的方程和双曲线的方程．
【解】 依题意，设抛物线的方程为y＝2px(p>0)，
2
?3?∵点P?，6?在抛物线上，
?2?
3
∴6＝2p×，解得2p＝4，
2∴所求抛物线的方程为y＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
2
?3?22
∴c＝1，则a＋b＝1，又点P?，6?在双曲线上，
?2?
∴
96
2－2＝1， 4ab2
2
a＋b＝1，??
解方程组?96
2－2＝1，??4ab
6
1a＝，??4得?3
b＝??4
22
??a＝9，
或?2
??b＝－8?舍去?.
2
422
∴所求双曲线的方程为4x－y＝1.
3
19．(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x＝－2py(p>0)→→
交于A，B两点，O为坐标原点，OA＋OB＝(－4，－12)．
2
图2
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求△ABP面积的最大值．
??y＝kx－2，
【解】 (1)由?2
?x＝－2py，?
得x＋2pkx－4p＝0.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
→→2
因为OA＋OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk－4)＝(－4，－12)，
??－2pk＝－4，所以?2
??－2pk－4＝－12，
??p＝1，
解得?
??k＝2.
2
所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x＝－2y.
(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，△ABP的面积最大． 设切线方程是y＝2x＋t，
??y＝2x＋t，
由?2
??x＝－2y，
2
得x＋4x＋2t＝0，
2
∴Δ＝4－4×2t＝0，∴t＝2.
此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离，
d＝?y＝2x－2，?|2＋2|45
＝.由?2
5?5?x＝－2y，
得x＋4x－4＝0，
2
AB＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2＝1＋22·?－4?2－4×?－4?＝410.
145
∴△ABP面积的最大值为×410×＝82.
25
7
x2y22
20．(本小题满分16分)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆ab2
心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足OA＋OB→→→25＝tOP(O为坐标原点)，当|PA－PB|＜时，求实数t的取值范围．
3
【解】 (1)由题意知，e＝＝
2
ca2， 2
c2a2－b2122
所以e＝2＝2＝，即a＝2b.
aa2
又因为b＝
＝1，所以a＝2，b＝1.
1＋12
2
2
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)由题意知，直线AB的斜率存在．设AB：y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，
x2
2
y＝k?x－2?，??2
y)，由?x2
＋y＝1，??2
得(1＋2k)x－8kx＋8k－2＝0.
2222
14222
Δ＝64k－4(2k＋1)(8k－2)＞0，k＜，
28k8k－2
x1＋x2＝2，x1x2＝2. 1＋2k1＋2k2
2
x1＋x2→→→
∵OA＋OB＝tOP，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝ty1＋y21－4ky＝＝k(x1＋x2)－4k]＝. ttt?1＋2k2?
?8k??－4k?∵点P在椭圆上，∴2＝2， 22＋22t?1＋2k?t?1＋2k2?2∴16k＝t(1＋2k)．
2525→→2
∵|PA－PB|＜，∴1＋k|x1－x2|＜，
33∴(1＋k)(x1＋x2)－4x1x2]＜
4
22
2
2
2
2
2
2
2
8k，
t?1＋2k2?
2
20， 9
2
?64k22－4·8k－2?20，
∴(1＋k)?2?＜
1＋2k?9??1＋2k?
8
1222
∴(4k－1)(14k＋13)＞0，∴k＞，
4
12116k82222∴＜k＜.∵16k＝t(1＋2k)，∴t＝2＝8－2， 421＋2k1＋2k262626??26??∴－2＜t＜－或＜t＜2，∴实数t的取值范围为?－2，－?∪?，2?.
333??3??
2
9