这个结果说明，以s0为底边，角度A?C?52?46?的等腰三角形，对推算边长的精度最为有利。
然而上述结果只是从推算边长精度最高这一要求得出的。如果用这种等腰三角形布设三角锁，则三角形的边长将越来越短（见图2-9），因而将无法扩展下去。这说明实际布网时不能只从精度考虑，而必须顾及各方面的条件。若按正三角形布网，则不仅点位密度均匀而且正三角形的R值（=4.4）与上述最有利图形（=4.0）也比较接近。因此从两个方面的要求综合考虑，可以认为正三角形是布网的理想图形。
3.三角形锁中推算边长的中误差
图2-10代表一段三角形单锁，其中s0为起算边，s1,s2,s3,?,sn为传距边。在每个三角形中与传距边相对的角为传距角，用Ai和Bi表示。三角形中另一个角用Ci表示，称为间隔角，与之相对的边称为间隔边。
设三角形单锁是按角度观测和按角度平差的，也就是所有A1,B1,C1,A2,B2,C2,?等角都是等精度独立观测值并按此参加平差。现在导出计算sn的边长对数中误差的公式。
由图2-10可以看出sn是由s0依次经过第1，第2，?，第n个三角形推算而得的，由于在平差时只是将第i个三角形的角度闭合差平均分配在三个内角Ai、Bi、Ci上，因此平差后只有这三个内角是相关的，而不同三角形之间各角是互不相关的。于是每个三角形对推算边长，所产生的误差可以认为是互相独立的。因而根据协因数传播律可知，由起始边s0通过各三角形推算最末边sn的权倒数将是各三角形图形权倒数之和，即
14n??R （2-12）
Plgsn31图2-10
4.大地四边形和中点多边形推算边长的中误差 在两相邻三角形内加测一条对角线所构成的图形，称为大地四边形，如图2-11、2-12所示。这种图形在工程控制网中应用颇广，例如桥梁三角网，通常就采用一个或几个大地四边形构成。图2-13所示的图形为中点多边形。
图2-11
大地四边形和中 点多边形都是构成三角网的主要图形。图2-11、2-12和2-13中的s0是已知边，s是推算边。图2-11和2-12两种图形中既含有若干图形条件（前者有3个）又含有一个极条件．因此不易推出边长中误差的普遍公式。
图2-12
对于大地四边形，此处只给出两种典型情况的图形权倒数公式。一种是图2-11 （a）所示的矩形大地四边形和图2-12（a）所示的菱形大地四边形（由两个等边三角形加测对角线所构成的图形）。按方向平差时它们的图形权倒数如下：
1 矩形大地四边形 ?0.75?R （2-13）
P矩 菱形大地四边形
1?1.25P菱?R （2-14）
式中?R?R1?R2（见图2-11（b）和图2-12（b）、（c））。
在图2-12（a）中，如果不加测长对角线Ⅱ-Ⅳ，而按图2-12（b）计算三角形单锁的图形权倒数，则得
1?1.33P。与（2-14）式比较，可见加测长对角线后，?R（见（2-12）式）
?R前面的系数仅由1.33降低为1.25，这说明图形强度增强很少。但长对角线给观测带来
困难，如在平地还须增加觇标高度。由此可见，在两个近似等边的三角形内一般不宜加测长
对角线。
虽然对于任意角度的大地四边形计算图形权倒数的普遍公式不易求得，但是在实际作业中所选出的大地四边形通常总是介于矩形与菱形大地四边形之间，因此可近似地取（2-13）式和（2-14）式中系数的平均值，作为计算任意角度大地四边形图形权倒数的系数，即
1??R （2-15） P四 按上式计算大地四边形权倒数时有两个不同的推算路线（见图2-11（b）和图2-12 （c）），应取其中较小的?R。?R较小的那条推算路线又称最佳推算路线。
对于中点多边形，现给出三种图形的最弱边边长对数的权倒数如下： 中点五边形 中点六边形 中点七边形
1?0.75P?R
1?0.72P1?1.05P?R
?R
图2-13
可见采用中点五边形或中点六边形较为有利。实际作业时所选定的中点多边形一般不符合等边情况，因此计算权倒数时常采用近似公式
1??R （2-16） P中用上式计算中点多边形图形权倒数，同样存在两条推算路线（见图2-13（b）和图2-13（c）），应取其中较小的?R。
5.混合锁段图形权倒数的计算
实际作业时，由于受地形条件限制等原因，所选定的三角锁段常常是由几种图形混合组成的三角锁（见图2-14）。估算这种锁段的图形权倒数时，先按下列各式计算出每种图形的图形权倒数：
14三角形 ??R （2-17）
P三3大地四边形 中点多边形
1?P四?R （2-18）
1??R （2-19） P中式中的R根据传距角由表2-5查出。但应注意，对后两种图形应取最佳推算路线求?R。然后取锁段传算路线上各图形权倒数之和，即为推算边长s的图形权倒数
1?Plgs1?P （2-20）
对图2-14所示的锁段，推算边长s的图形权倒数为
712510143?(?R??R??R)??R??R Plgs3161148
图2-14
应强调的是（2-17）～（2-19）各式的单位权中误差应为方向中误差r??，于是最弱边
边长对数的中误差为
mlgs?r??14?r???R （2-21） Plgs3又由（2-5）式可知
mlgsms? （2-22） s??106 以上的分析均未顾及起算边边长误差的影响。然而三角网平差后推算边长的精度不仅受
水平角观测误差的影响，而且还受起算边边长误差的影响。在独立三角网中，这两种误差影响是彼此无关的、互相独立的。设起算边长相对中误差为
mb，其边长对数中误差为mlgb，b当顾及起算边长误差的影响时，按误差传播定律，（2-21）式应改写为
22??2mlgs?mlgb?r1 Plgs2??2mlgs?mlgs?r1 （2-23） Plgs6.两端有起算边的三角形单锁最弱传距边边长的中误差
建立控制网时，为了提高精度，常在三角锁的两端布设起算边。当锁两端有起算边s1和
s2时，最弱传距边大体上在锁的中央，即s中（见图2-15）。
图2-15
设该锁按角度观测和按角度平差，可设想把全锁分为互相独立、大体相等的两个分段，分界边为s中（见图2-15）。由两端起算边s1和s2分别推算s中边长，可以得到两个互相独立
?和s中??，然后取其带权平均值。 的数值s中s中?1????(P??s?中?P?s中) （2-24） P??P???、s中??的权，则s中的权为P??P??。 式中P?、P??分别为s中2????? 设m?s中、ms中分别为s中、s中的中误差，单位权中误差为?，则有
P???2m?2s中2，?2?P?m?s中 （2-25）
此外，由于权与误差的平方成反比，故有
2P??m?s中? （2-26） 2?P?m?s中已知s中的权，再由（2-25）式可写出s中的中误差的平方为
m2s中22P?m?m?s中s中 ???P??P??P??P??1?P??P??2将（2-26）代入上式，化简后可得 m2s中2??2m?s中?ms中?2 （2-27） 2??m??ms中s中上式虽然是针对两端有起算边的三角形单锁导出的，但是从另一方面看，它也是在已知两个
分量的中误差的情况下求其加权平均值的中误差的一般公式。
作为一个算例，现应用上式估算国家一等锁锁段中最弱边的中误差。设图2-15表示一等锁的一个锁段，两端有起算边。若两个分段的三角形形状及个数大致相同，则可令
??m?s中?ms中
由此，（2-27）式可改写为
ms2中?1212m??m?? （2-28） 2s中2s中若以边长对数中误差表示，则上式成为
1212?s中?mlg??s中 （2-29） mlg2211?2s和mlg??2s,可根据（2-12）式求得。至于式中mlg的数值，国家规范中已作出规定并用
Plgs中P方2mlgs中?表示。然而
1Plgs中??1Plgs中??1?和s中??时只用到全锁的一半，因此，是指全锁段的图形权倒数之和，推算s中P方?1。此外设两端起算边长精度相同，其对数中误差为mlgs0，则 2P方2?2s中?mlg??2s中?mlgmlgs0?1r??2 2P方代入（2-29）式得
2mlgs中?12112mlgs0?r?? （2-30） 24P方 我国一等三角锁中规定
m????0.7??，即r???ms?1:350000，即mlgs0?1.24 (对数第六位为单位)；测角中误差ss0.7??2。正常情况下，
2mlgs中?1?100，将这些数据代人（2-30）式计算可得 P方110.7?1.242??100()2??6.89 242mlgs中??2.63
ms中s中1
165000?在困难情况下，
1?120，此时 P方mlgs中??2.85，
ms中s中?1
152000这就是我国一等三角锁段中最弱边的精度。
§2.5工程水平控制网优化设计概念
§2.3中已经提到，在控制网的技术设计中，首先考虑的是精度指标，其次是网的费用指标，这是传统的技术设计方法。在这种方法中，主要以技术规范为依据，只要设计出的控制网经过精度估算，得出最弱边的相对精度能够满足有关规范对某一等级控制网的精度要求，即基本上完成了设计任务。我们称这种方法为“规范化设计”。 近代控制网优化设计不同于上述规范化设计，而是一种更为科学和精确的设计方法。它