2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II）
第I卷（共60分）
参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)P(B)
一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）
1?i?1?i?2?1?i?1?i?2? （ ）
（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 （2）函数y?1?x?x?0?的反函数图像大致是 （ ） xy （Cy（A） y （B） ） （D） y
o1x?1oxo1x?1ox（3）已知函数y?sin?x??????cosx????，则下列判断正确的是（ ） 12??12????,0? 12????（A）此函数的最小周期为2?，其图像的一个对称中心是?（B）此函数的最小周期为?，其图像的一个对称中心是????,0? ?12????,0? ?6?（C）此函数的最小周期为2?，其图像的一个对称中心是?（D）此函数的最小周期为?，其图像的一个对称中心是????,0? 6??（4）下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是（ ）
（A）f(x)?sinx（B）f(x)??x?1（C）f(x)?n1x2?xa?a?x?（D）f(x)?ln ?22?x?1?1（5）如果?3x?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中3的系数是（ ） ?32xx??（A）7 （B）?7 （C）21 （D）?21
2??sin(?x),?1?x?0,（6）函数f(x)??x?1，若f(10?f(a)?2,则a的所有可能值为（ ）
??e,x?0.（A）1 （B）?222 （C）1,? （D）1, 222，CD?7a?2b，则一定共线的三点是（ ）
（7）已知向量a,b，且AB?a?2b,BC??5a?6b（ A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D
（8）设地球的半径为R，若甲地位于北纬45?东经120?，乙地位于南纬75?东经120?，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
（A）3R （B）
?6R （C）
5?2?R R （D）36（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）
（A）
31111 （B） （C） （D） 1012212（10）设集合A、B是全集U的两个子集，则A?B是?CUA??B?U的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件
（11）0?a?1，下列不等式一定成立的是（ ）
（A）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?2（B）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （C）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a) （D）log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)?log(1?a)(1?a)
y2?1的交点为A、B、（12）设直线l:2x?y?2?0关于原点对称的直线为l?，若l?与椭圆x?，42点P为椭圆上的动点，则使?PAB的面积为
1的点P的个数为（ ） 2（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第II卷（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
2n?2Cn?2Cn（13）lim?__________. 2n??(n?1)x2y2(14)设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如
ab果?PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e?___________.
?x?y?5,?3x?2y?12,?(15)设x、y满足约束条件?则使得目标函数z?6x?5y的最大的点(x,y)是
0?x?3,???0?y?4.________.
(16)已知m、n是不同的直线，?、?是不重合的平面，给出下列命题： ①若?//?,m??,n??,则m//n
②若m,n??,m//?,则?//?③若m??,n??,m//n，则?//?④m,n是两条异面直线，若
m//?,m//?,n//?,n//?，则?//?
上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分） 已知向量m?(co?s,?si和nn??2?sin?,cos?,????,2??，且m?n??82,求5????cos???的值.
?28?(18)(本小题满分12分)
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个
17
球在每一次被取出的机会是等可能的，用?表示取球终止所需要的取球次数. （I）求袋中所有的白球的个数； （II）求随机变量?的概率分布； （III）求甲取到白球的概率. （19）（本小题满分12分）
已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中m,n?R,m?0， （I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；
（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
(20)(本小题满分12分)
如图，已知长方体ABCD?A, 1BC11D1,AB?2,AA1?1FA1D130?，AE垂直BD于 直线BD与平面AAB11B所成的角为
B1E，F为A1B1的中点.
（I）求异面直线AE与BF所成的角；
（II）求平面BDF与平面AA1B所成的二面角； （III）求点A到平面BDF的距离. （21）（本小题满分12分）
BAC1EDC已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?Sn?n?5(n?N*) （I）证明数列?an?1?是等比数列； （II）令f(x)?a1x?a2x2??anxn，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较2f?(1)与
23n2?13n的大小.
(22)(本小题满分14分) 已知动圆过定点?p?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0.
2?2?（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?ByAM
Nox变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
（试题参考答案）
理科数学（必修+选修II）
一．选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 C 6 C 7 A 8 D 9 D 10 A 11 A 12 B 二．填空题 13．
3 14. e?2 15. ?2,3? 16. ③④ 2三.解答题
17.考查知识点：（三角和向量相结合） 解:m?n?cos??sin??2,cos??sin?
??m?n??cos??sin??2?2?(cos??sin?)2= ??????4?22(cos??sin?)=4?4cos????=21?cos????
4?4???由已知m?n?82??????7??,,得cos?????又cos?????2cos2(?)?1 54?284?25????165???9?cos2(?)???? ?????,2?? ?
282582884????????? cos????0 ? cos?????
5?28??28?18.（考查知识点：概率及分布列）
n(n?1)1Cn(n?1)2解:(I)设袋中原有n个白球,由题意知? ??7?67C7?622n27