12. 已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，
则_____.
【答案】6
【解析】 由题意得，令
，可得展开式中各项的系数和为
.
，
由展开式中各项的二项式系数的和为，则13. 已知正方体
的棱长为
上，若
，则
，点是棱的中点，点在底面
内，点在线段
【答案】
长度的最小值为_____.
【解析】 由题意得，过点作 在点在线段 在直角 在平面 又 所以
上，分别连接
平面,
，垂足为，
中，内过点作，当的最小值为
时，此时
.
，则
，
，即到直线
,
的最短距离为，
14. 对任意实数，定义集合.
①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是______； ②当
时，若对任意的
，有
恒成立，且存在
，使得
成立，则实数的取值范围为_______.
【答案】 (1).
(2).
【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，
观察图形可得只要满足时，满足题设条件，
对于任意 因为当过点存在
，有恒成立，则的斜率，
恒成立，
表示与定点时，此时，使得
，
有最小值，最小值为，即成立，则
，
，
平移目标函数当直线和则
重合时，此时最小，最小值为
.
，
，综上所述的取值范围是
点睛：本题主要考查了简单的线性规划的应用，利用图象分析目标函数的取值范围是解得关键，其中线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用. 15. 如图，在
中，点在边上， .
且
（Ⅰ）求（Ⅱ）求
的值；
的值.
.（Ⅱ）
，则
，
，在在
中，由余
【答案】（Ⅰ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，设弦定理列出方程，即可求解（Ⅱ）在
的长；
中，由正弦定理，求得进而的值，进而得到
的值，得
，即可求解，求出
的值；或在中，由余弦定理，求解
，从而得到结论.
试题解析： （Ⅰ）如图所示，
， 故
设在
，则
，
.
，
中，由余弦定理
即
（Ⅱ）方法一.在 在
中，由
， 解得
，得
中，由正弦定理得：
，即.
，故
即，故， 由，
得方法二. 在
，
中，由余弦定理
由，故， 故
16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计
算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，．．．．速度越快，单位是MIPS） ．．．．
测试测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 1 品牌3 A 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 品牌2 B 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21
（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率； （Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）随机变量的分布列为：
0 1 2 3 ；（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一.
【解析】试题分析：（Ⅰ）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于的文件有次，利用古典概型，即可求解相应的概率；
（Ⅱ）在12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数共有次，确定随机变量的可能的取值为
，求出取每个数值的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望；
（Ⅲ）结合题设中已有数据，能够运用以下其中一个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由即可. 试题解析：
（Ⅰ）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次，设该测试结果打开速度小于7为事件，因此
（Ⅱ）12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次，随机变量所有可能的取值为：0，1，2，3
随机变量的分布列为：
0 1 2 3