北京市西城区2012年高三二模试卷
数 学（文科） 2012.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．已知复数z满足(1?i)?z?1，则z?（ ） （A）
2．给定函数：①y?x3；②y?x2?1；③y?sinx；④y?log2x，其中奇函数是（ ） （A）① ②
3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y?2x； ②y??2x； ③f(x)?x?x?1； ④f(x)?x?x?1． 则输出函数的序号为（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④
4．设m，n是不同的直线，?，?是不同的平面，且m,n??. 则“?∥?”是“m∥?且n∥?”的（ ） （A）充分而不必要条件 （C）充要条件
5．已知双曲线x?ky?1的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ） （A）y??14x
2212?i2 （B）
12?i2 （C）?12?i2 （D）?12?i2
（B）③ ④ （C）① ③ （D）② ④
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件
（B）y??4x （C）y??12x （D）y??2x
6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为x1和x2，标准差依次为s1和s2，那么（ ） （注：标准差s?1n[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]222，其中x为x1,x2,?,xn的平均数）
（A）x1?x2，s1?s2 （C）x1?x2，s1?s2
（B）x1?x2，s1?s2 （D）x1?x2，s1?s2
7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S．则S最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A）7层
8．已知集合A?{a1,a2,?,a20}，其中ak?0(k?1,2,?,20)，集合B?{(a,b)|a?A,
b?A,a?b?A}，则集合B中的元素至多有（ ）
（B）8层 （C）9层 （D）10层
（A）210个
（B）200个 （C）190个 （D）180个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC中，BC?
10．设变量x，y满足?
11．已知向量a?(x,?1)，其中x随机选自集合{?1,1,3}，y随机选自集合{1,3}， b?(3,y)，
那么a?b的概率是_____．
12．已知函数f(x)?x2?bx?1是R上的偶函数，则实数b?_____；不等式f(x?1)?x的
解集为_____．
13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．
14．已知曲线C的方程是(x?|x|x)?(y?23，AC?2，A?π3，则B?_____．
??1?x?y?1,??1?x?y?1, 则2x?y的最小值是_____．
|y|y)?8，给出下列三个结论：
2① 曲线C与两坐标轴有公共点；
② 曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）
在等差数列{an}中，a2?a7??23，a3?a8??29． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an?bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．
16．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?sin?(x??)???(?ππ,)． 22??0，3cos?(x??的部分图象如图所示，其中)（Ⅰ）求?与?的值；
?44552sin??sin2?2sin??sin2?（Ⅱ）若f(
)?，求的值．
17．（本小题满分13分）
如图，四棱锥E?ABCD中，EA?EB，AB∥CD，AB?BC，AB?2CD． （Ⅰ）求证：AB?ED；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF// 平面BCE？若存在，求出说明理由．
CBDAEEFEA；若不存在，
18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?2ax?a?1x?122，其中a?R．
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为
63，且经过点(,)．
2231（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P(0,2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最 大值．
20．（本小题满分14分）
*若正整数N?a1?a2???an(ak?N,k?1,2,?,n)，则称a1?a2???an为N的
一个“分解积”．
（Ⅰ）当N分别等于6,7,8时，写出N的一个分解积，使其值最大；
*（Ⅱ）当正整数N(N?2)的分解积最大时，证明：ak(k?N)中2的个数不超过2；
（Ⅲ）对任意给定的正整数N(N?2)，求出ak(k?1,2,?,n)，使得N的分解积最 大．