北京市西城区2012年高三二模试卷
数学（文科）参考答案及评分标准
2012.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．B； 7．C； 8．C ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．
π4； 10．?2； 11．
1316；
12．0，{x|1?x?2}； 13．，3π； 14．② ③．
注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．
依题意 a3?a8?(a2?a7)?2d??6，从而d??3． ??????2分
所以 a2?a7?2a1?7d??23，解得 a1??1． ??????4分
所以数列{an}的通项公式为 an??3n?2． ??????6分 （Ⅱ）解：由数列{an?bn}是首项为1，公比为c的等比数列，
n?1n?1 得 an?bn?c，即?3n?2?bn?c，
n?1 所以 bn?3n?2?c． ??????8分 2n?1 所以 Sn?[1?4?7???(3n?2)]?(1?c?c???c)
?10分
n(3n?1)2?(1?c?c???c2n?1)． ??????
从而当c?1时，Sn?11分
n(3n?1)2?n?3n?n22； ??????
当c?1时，Sn?
n(3n?1)2?1?cn1?c． ??????13分
16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：f(x)?2sin(?x???π3)． ??????2分
设f(x)的最小正周期为T． 由图可得
T2?π4?(?π4)?π2π3，所以 T?π，??2． ??????4分
)?1，
由 f(0)?2，得 sin(??因为 ??(?πππ,)，所以 ??． ??????6分 226π2（Ⅱ）解：f(x)?2sin(2x??4)?2cos2x． ??????8分
由 f()?2cos?22?455，得 cos35?2?255， ??????9分
所以 cos??2cos?2?1?． ??????11分
1?cos?1?cos?14所以
2sin??sin2?2sin??sin2??2sin?(1?cos?)2sin?(1?cos?)??． ??????13分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．
因为 EA?EB，所以 EO?AB． ?????2分
GFE因为 AB∥CD，AB?2CD， 所以 BO∥CD，BO?CD．
又因为 AB?BC，所以四边形OBCD为矩形，
CBDOA所以 AB?DO． ??????4分 因为 EO?DO?O，所以 AB?平面EOD． ??????5分
所以 AB?ED． ??????6分
（Ⅱ）解：点F满足
EFEA?12，即F为EA中点时，有DF// 平面BCE．?????7分
证明如下：取EB中点G，连接CG，FG． ??????8分
因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG?因为AB∥CD，CD?1212AB．
AB，所以FG∥CD，FG?CD．
所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DF∥CG． ??????11分 因为 DF?平面BCE，CG?平面BCE， ??????12分
所以 DF// 平面BCE． ??????13分
18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2xx?12，f?(x)??2(x?1)(x?1)(x?1)22． ??????2分
由 f?(0)?2， 得曲线y?f(x)在原点处的切线方程是2x?y?0．????4分
（Ⅱ）解：f?(x)??2(x?a)(ax?1)x?12xx?122． ??????6分 ．
① 当a?0时，f?(x)?所以f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减． ??????7分
(x?a)(x?1)a．
当a?0，f?(x)??2ax?12
1a② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1??a，x2?
故f(x)的单调减区间是(??,?a)，(1ax f?(x) f(x) (??,x1) ?，f(x)与f?(x)的情况如下：
x20x1 0(x1,x2) (x2,??)? ? ↘ f(x1)↗ f(x2)↘ ,??)；单调增区间是(?a,1a)．???10分
③ 当a?0时，f(x)与f?(x)的情况如下： x f?(x) f(x) (??,x2) x2 0
(x2,x1) ?x1 0(x1,??) ? ? ↗ f(x2)↘ f(x1)↗ 所以f(x)的单调增区间是(??,)；单调减区间是(?a11a,?a)，(?a,??)．
??????13分 综上，a?0时，f(x)在(??,?a)，(1a,??)单调递减；在(?a,1a)单调递增.
1a)，
a?0时，f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减；a?0时，f(x)在(??,(?a,??)单调递增；在(1,?a)单调递减．
a19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解： 由 e?2a?ba222?1?ba22?923?， 得
14b2ba?13． ① ??????2分
由椭圆C经过点(,)，得
22314a2?1． ② ??????3分
联立① ②，解得 b?1，a?x23． ????4分
所以椭圆C的方程是
3?y?1． ????5分
2（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得 (1?3k2)x2?12kx?9?0． ??????7分 令??144k2?36(1?3k2)?0，得k2?1． 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?? 所以 S?AOB?S?POB?S?POA?2212k1?3k2，x1x2?91?3k2． ?????9分
12?2?x1?x2?x1?x2． ??????10分
因为 (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?设 k?1?t(t?0)，
2212k1?3k2)?2361?3k2?36(k?1)(1?3k)222，
则 (x1?x2)?36t(3t?4)2?9t?3616t?24?3629t?16t?24?34． ?????13分
当且仅当9t?16t，即t?43时等号成立，此时△AOB面积取得最大值
32．
??????14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：6?3?3，分解积的最大值为3?3?9； ??????1分
7?3?2?2?3?4，分解积的最大值为3?2?2?3?4?12； ??????2分 8?3?3?2，分解积的最大值为3?3?2?18． ??????3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，ak(k?1,2,?,n)中可以有2个2． ??????4分 当ak(k?1,2,?,n)有3个或3个以上的2时， 因为2?2?2?3?3，且2?2?2?3?3， 所以，此时分解积不是最大的．
因此，ak(k?N*)中至多有2个2． ??????7分 （Ⅲ）解：① 当ak(k?1,2,?,n)中有1时， 因为1?ai?(ai?1)，且1?ai?ai?1，
所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ??????8分 ② 由（Ⅱ）可知，ak(k?1,2,?,n)中至多有2个2． ③ 当ak(k?1,2,?,n)中有4时，
若将4分解为1?3，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为2?2，则分解积相同；
4?3?3?2 若有两个4，因为4?4?3?3?2，且4?，所以将4?4改写为3?3?2，
使得分解积更大．
因此，ak(k?1,2,?,n)中至多有1个4，而且可以写成2?2． ??????10分 ④ 当ak(k?1,2,?,n)中有大于4的数时，不妨设ai?4， 因为ai?2(ai?2)，
所以将ai分解为2?(ai?2)会使得分解积更大． ??????11分 综上所述，ak(k?1,2,?,n)中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．
于是，当N?3m(m?N*)时，N?3?3???3使得分解积最大； ????12分 ?????m个 当N?3m?1(m?N*)时，N?3???3???3?2?2?3???3???3?4使得分解积??????(m?1)个(m?1)个最大； ??????13分 当N?3m?2(m?N)时，N?3?????3???3?2使得分解积最大． ?m个 ??????14分