数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
21. 设全集U?R，集合A??x|0?x?3?,B?x|x?4，则集合CU?A?B?等于（ ）
??A．???,?2? B．???,0???2,??? C．?3,??? D．???,?2???3,???
15?a?R?是纯虚数，则a的值为（ ） 3?4i912129A．? B．? C． D．
55552. 设i是虚数单位，若复数a?3. 为了解某地参加2015 年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为
001,002,...,400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001到155在第一营区，从156到255在第二
营区，从256到400在第三营区，则第一、第二、第三营区被抽中的人数分别为（ ） A．15,10,15 B．16,10,14 C．15,11,14 D．16,9,15 4. 若?x?表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．10
x??3?1,x?05. 已知函数f?x???2，若存在x1??0,???,x2????,0?，使得
??x?1,x?0f?x1??f?x2?，则x1的最小值为（ ）
A．log23 B．log22 C．1 D．2 6. 若???0,??，且sin??2cos??2，则tan?2等于（ ）
A．3 B．2 C．
????????????????OB?0，点C在线段AB上，且?AOC?30?，7. 如图所示，已知OA?1,OB?3,OA?????????????设OC?mOA?nOB?m,n?R?，则m?n等于（ ）
11 D．
32
A．
1111 B． C．? D．? 33228. 若函数f?x??????2sin?2x???????的图象关于直线x?对称，且当
122????,x1?x2时，f?x1??f?x2?，则f?x1?x2?等于（ ） ??17?2?x1,x2???,?123?A．2 B．
262 C． D．
2249. 在菱形ABCD中，A?60?,AB?23，将?ABD沿BD折起到?PBD的位置，若二面角P?BD?C的大小为120?，则三棱锥P?BCD的外接球的体积为（ ） A．32287? B．287? C．? D．43?
33210. 已知点A是抛物线C:x?2py?p?0?上一点，O为坐标原点，若A,B是以点
M?0,10?为圆心，且OA的长为半径的圆与拋物线C的两个公共点，且?ABO为等边三
角形，则p的值是 （ ） A．
5555 B． C． D．
369211. 某几何体的三视图如图所示（其中府视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）
A．44?234?8? B．56?8? C．44?234?12? D．56?12?
12. 若存在两个正实数x,y，使得等式x?a?y?2ex??lny?lnx??0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ）
A．???,0???,??? B．?0,?
eeC．?,??? D．???,0?
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
?1????1????1?e???x?1?13. 已知实数x,y满足?x?2y?5?0，且z?4x?y最大值是最小值的m倍，则
?x?y?0?m? ．
14. 已知?1?x??1?2x??a0?a1?x?1??a2?x?1??...?a7?x?1?，则a3? ．
627x2y215. 已知点P为双曲线2?2?1?a?0,b?0?右支上的一点，点F1,F2分别为双曲线的
ab左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M为?PF1F2的内心，且
S?PMF1?S?PMF2??S?MF1F2，则?的值为 ．
16. 在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足
2cos2bA3?sinA,sin?B?C??4cosBsinC，则? ．
c23
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知各项为正数的等差数列?an?的前n项和为
Sn,a1?3,a2?a3?S5.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?1，求数列?bn?的前n项和Tn. Sn18. （本小题满分12分）2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x,y,z，并对它们进行量化：0表示不合格，
1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标??x?y?z的值评定人工种植的青蒿的长势
等级：若??4，则长势为一级；若2???3，则长势为二级；若0???1，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果： 种植地编号 A1 A2 A3 A4 A5 ?x,y,z? 种植地编号 ?0,1,0? A6 ?1,2,1? A7 ?2,1,1? A8 ?2,2,2? A9 ?0,1,1? A10 ?x,y,z? ?1,1,2? ?2,1,2? ?2,0,1? ?2,2,1? ?0,2,1? （1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率； （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X?m?n，求X的分布列及其数学期望.
19. （本小题满分12分）如图，在斜四棱柱ABCD?A底面ABCD是边长为231BC11D1中，的菱形， 且?BAD??3，若?AA1C??2ABCD上的射影为?ABD的重心G. ，且A1在底面
（1）求证：平面ACC1A1?平面BDD1B1； （2）求直线CC1与平面A1BC所成角的正弦值.
x2y220. （本小题满分12分）已知F1,F2分别为椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点,B 为
abP为椭圆上一点, A0,22为椭圆外一椭圆的上顶 点,?BF1F2 为正三角形, 且
点,PA?PF2 的最小值为?1,过点F2且垂直于x轴的直线交为椭圆于C,D两点, 直线
??l:y?mx?n与x2?y2?3相切并且交椭圆于M,N(M,N在直线CD的两侧）两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当四边形CMDN的面积最大时, 求直线l的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数f?x??mx?lnx?x?0?,m?R. x（1）若函数f?x?的图象与x轴存在交点, 求m的最小值； （2）若函数f?x?的图象在点1,f?1?处的切线斜率为证：1?M???1, 且函数f?x?的最大值为M求23. 2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在等腰梯形ABCD中，AD?BC,AC、BD交于点Q,AC平分?DAB,AP为梯形ABCD外接圆的切线, 交BD的延长线于点P. （1）求证：PQ?PD?PB； （2）若AB?4,AP?3,AD?23,求AQ的长. 2