珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测
高三理科数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
x1．已知全集U?R，集合A?yy?2,x?R，则CUA＝（ ）
??A．? B．(0，＋∞) C． (－∞，0] D．R 2．已知a,b是实数，则“??a?2”是“a?b?5”的（ ）
?b?3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l,m和平面?， 则下列命题正确的是（ ）
A．若l//m,m??，则l//? B．若l//?,m??，则l//m C．若l?m,l??，则m//? D．若l??,m??，则l?m 5．已知是虚数单位，复数
i＝（ ） 3?i13131313A．?i B．??i C．??i D．??i
8810101010886．函数y?sin?2x? A．向左平移
?????的图象可由函数y?sin2x的图象（ ） 4?ππ个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 88ππ C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到
44?x?y?5?0?7．若实数x,y满足不等式组?x?y?0 则2x?4y的最小值是（ ）
?x?3?A．6 B．4 C．?2 D．?6
8． 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=x1?x2?y1?y2，
给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°， 则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D.3
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题）
1
9．函数y?sinx的导函数y?? ． x10．在递增等比数列?an?中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝ ．
11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：
合唱社 粤曲社 武术社
a 45 30 高一
15 10 20 高二
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱
社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C＝
?3，b?3，
若△ABC的面积为
33 ，则c= ． 2x2y213．如图，F1，F2是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1
ab的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若
| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双 曲线的离心率为 . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中， 已知曲线C1：?
?x?t?2
(t为参数）与曲线C2：
?y?1?2t
?x?3cos?（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为 . ?y?3sin??15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5， AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
??16．（本小题满分12分）设向量a??2,sin??,b??1,cos??，?为锐角．
??13b?，求sin??cos?的值； （1）若a?6?????（2）若a//b，求sin?2???的值．
3??
17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生： （1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率； （3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.
18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.
（1）求证：BC//平面C1B1N；
2
（2）求证：BN?平面C1B1N；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1，并求
BP的值. PC
x2y219．(本题满分14分) 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，
ab?AF1F2为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．
12ax?2x，g(x)?lnx. 2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；
g(x)1（2）是否存在实数a?0，使得方程?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根？若
xe存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分14分)已知函数f(x)?
21．（本题满分14分）已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式；
an(an?2)* (n?N). 411115(n?N*)； ??????3333a1a2a3an32?an?11111（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?)(1?)???(1?)cos对一切n?N*都成立？?a1a2an2an?1（2）求证：
若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.
珠海市2012~2013学年第一学期普通高中学生学业质量监测
高三理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：CABD AADB 二、填空题：9、 三、解答题：
xcosx?sinx 10、2 11、150 12、
x27 13、13 14、 4 15、 6
3
??131b?2?sin?cos??，?sin?cos??…………… 3分 16．解：（1）因为?a?66??sin??cos???1?2sin?cos??2423，又??为锐角，?sin??cos??．………… 6分 33??2sin?cos?2tan?4??（2） 解法一：?a//b，?tan??2…… 8分，?sin2??2sin?cos??，
sin2??cos2?tan2??15cos2??sin2?1?tan2?3cos2??cos??sin?????………… 10分
sin2??cos2?tan2??1522??13143?3?4?33?………… 12分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10???255解法二：?a//b，?tan??2…… 8分，?sin??， ,cos??55?sin2??2sin?cos??4322，cos2??cos??sin???…………… 10分 55??13143?3?4?33?………… 12分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10?17. 解：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=4?4?4?64 …… 3分
222C4C3A22?3?3?29??………… 7分 (Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2?4?4?41643(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为?，则?＝0,1,2,3
113C3?32273?C3C3332791P(?＝0)＝3?，P(?＝1)＝，P(＝2)＝，P(＝3)＝ ……… 9分 ?????464436443644364?的分布列是
2727913?1??2??3?? ………… 12分 64646464418. 解：（1）证明： E??0? 4
?该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，?BA,BC,BB1两两互相垂直。
以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则N(4,4,0),B1(0,8,0)，C1(0,8,4),C(0,0,4) ，B(0,0,0) ……………… 2分 ∵BC?(0,0,4)，B1C1?(0,0,4)，BC?B1C1，∴BC//B1C1，
∵B1C1?平面C1B1N，BC?平面C1B1N，∴BC//平面C1B1N…… 4分
（2）?BN?B1N?(4,4,0)?(4,?4,0)?16?16?0，BN?B1C1?(4,4,0)?(0,0,4)?0
?BN?B1N,BN?B1C1，又B1N?B1C1?B1，?BN?平面C1B1N…………… 8分
（3）设P(0,0,a)为BC上一点，?M为AB的中点，?M(2,0,0)，MP?(?2,0,a)，NC?(?4,?4,4) 设平面的一个法向量为n?(1,x,y)，则有n?NC,n?NB1，则有n?NC?0,n?NB1?0, ∴(1,x,y)?(?4,?4,4)?0,(1,x,y)?(?4,4,0)?0，得x?1,y?2，∴n?(1,1,2)，…10分
?MP//平面CNB1，?n?MP，于是MP?n?(?2,0,a)?(1,1,2)??2?2a?0，解得：a?1……… 12分
?MP?平面CNB1，?MP//平面CNB1，此时PB?a?1，?BP1?…………………… 14分 PC3?a?2c?19. 解：（Ⅰ）解：由题设得?a?a?2c?6………… 2分，解得： a?2,b?3，c?1…… 3分
?a2?b2?c2?x2y21??1. …… 5分，离心率e?……… 6分 故C的方程为432（2）直线F1A的方程为y?3(x?1)，…… 7分，设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0)，则
3?y0??3??1x??0??332?x0?，所以点的坐标为M(?,)…………… 9分 ???22?y0?3(x0?1)?y?30??2?2?2∵PO?PM，PF2?PO?PF2?PM?MF2，…… 10分
5